工程數學二階常微分方程疑問

Question

1.x^2y''-4xy'+6y=0,y(1)=1,y'(1)=0
2.x^2y''+3xy'+y=0,y(1)=4,y'(1)=-2
3.(x^2D^2+2xD+100.25I)y=0,y(1)=2,y'(1)=-11
4.(x^2D^2-2xD+2.25I)y=0,y(1)=2.2,y'(1)=2.5
5.(xD^2+4D)y=0,y(1)=12,y'(1)=-6
工程數學的高手們請幫忙我解詳解了，謝謝大家。

我也不清處耶～
我是看Kreyszig原文書裡的2.5章節練習題裡面寫的。
Y(x)=C1y1(x)+C2y2(x)

Answer 1

( x^2D^2 + 2xD + 100.25I )y = 0

I 是什麼？

2006-10-29 11:03:12 補充：
我剛翻了一下 Kreyszig 的工數，並沒有 I 這個東西，不過我把 I 當 1 來處理好了。

2006-10-29 11:46:04 補充：
1. x2y'' - 4xy' + 6y = 0 , y(1) = 1 , y'(1) = 0sol：　　令 y = xm 代入得：m( m - 1 ) - 4m + 6 = 0　　→ m2 - 5m + 6 = 0 ～ 特徵方程式 ( characteristic equation )　　→ m = 2 , 3 ～ 相異實根　　→ y = c1x2 + c2x3　　y(1) = 1 → c1 + c2 = 1　　y' = 2c1x + 3c2x2　　y'(1) = 0 → 2c1 + 3c2 = 0　　解得：c1 = 3、c2 = - 2　　→ y = 3x2 - 2x3 #*2. x2y'' + 3xy' + y = 0 , y(1) = 4 , y'(1) = - 2sol：　　令 y = xm 代入得：m( m - 1 ) + 3m + 1 = 0　　→ m2 + 2m + 1 = 0 ～ 特徵方程式 ( characteristic equation )　　→ m = - 1 , - 1 ～ 重根　　→ y = ( c1 + c2 ln x ) x - 1　　y(1) = 4 → c1 = 4　　y' = ( c2x - 1 ) x - 1 - ( c1 + c2 ln x ) x - 2　　y'(1) = - 2 → c2 - c1 = - 2 → c2 = 2　　→ y = ( 4 + 2  ln x ) x - 1 , x > 0 #*3. ( x2D2 + 2xD + 100.25 ) y = 0 , y(1) = 2 , y'(1) = - 11sol：　　令 y = xm 代入得：m( m - 1 ) + 2m + 100.25 = 0　　→ m2 + m + 100.25 = 0 ～ 特徵方程式 ( characteristic equation )　　→ m = - 0.5 ± 10 i ～ 共軛複根　　→ y = x - 0.5 ( c1cos 10 ln x + c2sin 10 ln x )　　y(1) = 2 → c1 = 2　　y' = - 0.5x - 0.5 ( c1cos 10 ln x + c2sin 10 ln x ) + x - 0.5 ( - x - 1c1sin 10 ln x + x - 1c2cos 10 ln x )　　y'(1) = - 11 → - 0.5c1 + c2 = - 11 → c2 = - 10　　→ y = x - 0.5 ( 2 cos 10 ln x - 10 sin 10 ln x ) , x > 0 #*4. ( x2D2 - 2xD + 2.25 ) y = 0 , y(1) = 2.2 , y'(1) = 2.5sol： 　　令 y = xm 代入得：m( m - 1 ) - 2m + 2.25 = 0　　→ m2 - 3m + 2.25 = 0 ～ 特徵方程式 ( characteristic equation )　　→ m = 1.5 , 1.5 ～ 重根　　→ y = ( c1 + c2 ln x ) x 1.5　　y(1) = 2.2 → c1 = 2.2　　y' = ( c2x - 1 ) x 1.5 + 1.5( c1 + c2 ln x ) x 0.5　　y'(1) = 2.5 → c2 + 1.5c1 = 2.5 → c2 = - 0.8　　→ y = ( 2.2 - 0.8  ln x ) x 1.5 , x > 0 #*5. ( x2D2 + 4D ) y = 0 , y(1) = 12 , y'(1) = - 6sol：　　令 y = xm 代入得：m( m - 1 ) + 4m = 0　　→ m2 + 3m = 0 ～ 特徵方程式 ( characteristic equation )　　→ m = 0 , - 3 ～ 相異實根　　→ y = c1 + c2x - 3　　y(1) = 12 → c1 + c2 = 12　　y' = - 3c2x - 4　　y'(1) = - 6 → - 3c2 = - 6 → c2 = 2　　又：c1 + c2 = 12 → c1 = 10　　→ y = 10 + 2x - 3 #*　　希望以上回答能幫助您。