Como se demonstra a fórmula de cos(a-b)?

Answer 1

1) Demostração vetorial (muito elegante)

Sejam P e Q dois vetores correspondentes aos ângulos α e β marcados no círculo trigonométrico, com α > β (esta última condição não é necessária, mas melhora a compreensão). Então:
P = I.cos(α) + J.sen(α) e
Q = I.cos(β) + J.sen(β),

onde I e J são os vetores ortogonais unitários correspondentes a 0 e π/2, respectivamente. Como estão todos no círculo trigonométrico, |P| = |Q| = |I| = |J| = 1.

O produto escalar é dado por:
P • Q = |P| . |Q| . cos(θ),
onde θ é o ângulo entre os dois vetores, ou seja,
θ = α - β e
P • Q = |P| . |Q| . cos(θ) = 1.1.cos(α - β) = cos(α - β)

Calculando o produto escalar pelas componentes, temos:
P • Q = (I.cos(α) + J.sen(α)) • (I.cos(β) + J.sen(β))
P • Q = cos(α).cos(β) + sen(α).sen(β)

Mas P • Q é cos(α - β), portanto:
cos(α - β) = cos(α).cos(β) + sen(α).sen(β)

c.q.d.

Adendo 1.1)
Para achar cos(α + γ), basta fazer β = -γ, lembrando que cos(-γ)=cos(γ) e sen(-γ) = -sen(γ), obtendo:

cos(α + γ) = cos(α).cos(γ) - sen(α).sen(γ)

Adendo 1.2)
Se não lembrar como se calcula o produto escalar pelas componentes:
P • Q = (I.cos(α) + J.sen(α)) • (I.cos(β) + J.sen(β))
= cos(α).cos(β).I • I + sen(α).cos(β).J • I + cos(α).sen(β).I • J + sen(α).sen(β).J • J

Como I • I = J • J = 1 e J • I = I • J = 0, ficamos com
P • Q = cos(α).cos(β) + sen(α).sen(β)



2) Demostração trigonométrica

Acompanhe pela figura em:
http://www.clowder.net/hop/cos%28a+b%29.gif

Foram desenhados os ângulos β e α + β.
cos(α + β) vale o segmento roxo menos o azul.
sen(α + β) vale o segmento vermelho mais o laranja.

Logo:
cos(α+β) = cos(α).cos(β) - sen(α).sen(β)
sen(α+β) = sen(α).cos(β) + sen (β).cos(α)

Substituindo β por -β e lembrando que cos(-β)=cos(β) e sen(-β) = -sen(β), obtemos:
cos(α-β) = cos(α).cos(β) + sen(α).sen(β)
sen(α-β) = sen(α).cos(β) - sen (β).cos(α)

c.q.d.

Answer 2

A multiplicação de dois números complexos na forma polar:

A = |A| [cos(a)+isen(a)]
B = |B| [cos(b)+isen(b)]

é dada pela Fórmula de De Moivre:

AB = |A||B| [cos(a+b)+isen(a+b)]

Isto é, para multiplicar dois números complexos em suas formas trigonométricas, devemos multiplicar os seus módulos e somar os seus argumentos.

Se os números complexos A e B são unitários então |A|=1 e |B|=1, e nesse caso

A = cos(a) + i sen(a)
B = cos(b) + i sen(b)

Multiplicando A e B, obtemos

AB = cos(a+b) + i sen(a+b)

Existe uma importantíssima relação matemática, atribuída a Euler (lê-se "óiler"), garantindo que para todo número complexo z e também para todo número real z:

eiz = cos(z) + i sen(z)

Tal relação, normalmente é demonstrada em um curso de Cálculo Diferencial, e, ela permite uma outra forma para representar números complexos unitários A e B, como:

A = eia = cos(a) + i sen(a)
B = eib = cos(b) + i sen(b)

onde a é o argumento de A e b é o argumento de B. Assim,

ei(a+b) = cos(a+b)+isen(a+b)

Por outro lado

ei(a+b) = eia . eib = [cos(a)+isen(a)] [cos(b)+isen(b)]

e desse modo

ei(a+b) = cos(a)cos(b) - sen(a)sen(b)
+ i [cos(a)sen(b) + cos(b)sen(a)]

Para que dois números complexos sejam iguais, suas partes reais e imaginárias devem ser iguais, logo

cos(a+b) = cos(a)cos(b) - sen(a)sen(b)
sen(a+b) = cos(a)sen(b) + cos(b)sen(a)

Para a diferença de arcos, substituímos b por -b nas fórmulas da soma

cos(a+(-b)) = cos(a)cos(-b) - sen(a)sen(-b)
sen(a+(-b)) = cos(a)sen(-b) + cos(-b)sen(a)

para obter

cos(a-b) = cos(a)cos(b) + sen(a)sen(b)
sen(a-b) = cos(b)sen(a) - cos(a)sen(b)

Answer 3

essa demonstraçao eh mt legal..vc precisa do ciclo trigonometrico.
entao vc determina 2 arcos... um com angulo ''a'' e outro com angulo ''b'' por exemplo... vc pode fazer isso no primeiro quadrante...
entao vc econtra o angulo q eh a diferença entre esses angulos q é (a-b) . a partir daí vc trabalha com geometria achando triangulos , aplicando semelhanças... e outros artificios matematicos até encontrar a relaçao cos(a-b)... eh um quebra cabeça;;;
eh dificl explicar escrevendo, seria mais facil se eu pudesse desenhar p vc..
essa eh a forma possivel de deduçao utilizando conhecimentos de ensino medio...

Answer 4

oq?

Answer 5

algo parecido com:
sen (a+b) + cos (a-b)

Existem umas fórmulas parecidas.
Onde tem mais pode ser menos, pode ser que sejam 2 senos ou 2 cossenos.