estudo de funçoes matemáticas?

Question

alguem me diz um site onde eu possa aprender a fazero estudo de funçoes

Answer 1

http://www.somatematica.com.br

Answer 2

http://www.mat.ufmg.br/~protem/Calc/fun/fun0.html

http://paginas.terra.com.br/educacao/calculu/Exercicios/Fc/funcoes.htm

http://www.cepa.if.usp.br/e-calculo/funcoes.htm

http://www.exatas.hpg.ig.com.br/funcao1.htm

Espero ter ajudado

Answer 3

Procura no Google!

Answer 4

O site dado na primeira resposta é uma boa opção. Mas não dá oara ficar só com sites. Sites costuma dar ainformações superficiais. Se você deseja realmente aprender, consulte um bom livro, como o do Erlon.

Answer 5

O papel dos Limites de funções reais
O conceito de Limite de uma função realiza um papel muito importante em toda teoria matemática envolvida com o Cálculo Diferencial e Integral. Há uma cadeia ordenada muito bem estabelecida no Cálculo:

Conjuntos, Funções, Limites, Continuidade, Derivadas e Integrais

Para entender os conceitos mais importantes da lista acima, que são os últimos, a Teoria de Limites é fundamental.

O motivo para isto é que nem tudo o que queremos realizar, ocorre no meio físico e quase sempre é necessário introduzir um modelo que procura algo que está fora das coisas comuns e esta procura ocorre com os limites nos estudos de sequências, séries, cálculos de raízes de funções, ...

Por exemplo, obter uma raiz de uma função polinomial de grau maior do que 4 somente é possível através de métodos numéricos que utilizam fortemente as idéias de limites e continuidade. Na verdade, este cálculo depende do Teorema do Valor Intermediário (apresentado no final) que é uma consequência do estudo de continuidade de funções.


Idéia Intuitiva de Limite
Estudaremos o comportamento de uma função f nas proximidades de um ponto. Para fixar idéias, consideremos a função f:R-{1}R definida por:

f(x)= x²-1

x-1

Para x diferente de 1, f pode ser simplificada e reescrita na forma mais simples:

f(x) = x + 1

Ao analisar o comportamento desta função nas vizinhanças do ponto x=1, ponto este que não pertence ao domínio de f, constatamos que esta função se aproxima rapidamente do valor L=2, quando os valores de x se aproximam de x=1, tanto por valores de x<1 (à esquerda de 1) como por valores x>1 (à direita de 1).

Do ponto de vista numérico, as tabelas abaixo mostram o comportamento da função f, para valores x à esquerda e à direita de x=1.


Pela esquerda de x=1
x 0 0,5 0,8 0,9 0,99 0,999 1
f(x) 1 1,5 1,8 1,9 1,99 1,999 2
Pela direita de x=1
x 2 1,5 1,2 1,1 1,01 1,001 1
f(x) 3 2,5 2,2 2,1 2,01 2,001 2


Neste caso, dizemos L=2 é o limite da função f quando x se aproxima de 1, o que denotaremos por:

Limx1 f(x) = 2

Este resultado pode ser visto através da análise gráfica de f, cujo esboço vemos na figura abaixo:




Limite de uma função real
Seja f uma função real definida sobre o intervalo (a,b) exceto talvez no ponto x=c que pertence a intervalo (a,b), Le e Ld números reais. Diz-se que:

O limite lateral à direita de f no ponto c é igual a Ld, se os valores da função se aproximam de Ld, quando x se aproxima de c por valores (à direita de c) maiores do que c. Em símbolos:

Limxc+ f(x) = Ld

O limite lateral à esquerda de f no ponto c é igual a Le, se os valores da função se aproximam de Le, quando x se aproxima de c por valores (à esquerda de c) menores que c. Em símbolos:

Limxc_ f(x) = Le

Quando o limite lateral à esquerda Le coincide com o limite lateral à direita Ld, diz-se que existe o limite da função no ponto c e o seu valor é Ld=Le=L. Com notações simbólicas, escrevemos:

Limxc f(x) = L

O que significa que, para qualquer e>0 e arbitrário, existe um d>0, que depende de e, tal que

|f(x)-L|< e

para todo x satisfizando 0 <|x-a|
No caso em que um dos limites laterais não existe ou no caso de ambos existirem porém com valores diferentes, diremos que a função não tem limite no ponto em questão.

O próximo resultado afirma que uma função não pode se aproximar de dois limites diferentes ao mesmo tempo e ele é denominado o teorema da unicidade, porque garante que se o limite de uma função existe, então ele deverá ser único.



Unicidade do Limite: Se Lim f(x)=A e Lim f(x)=B quando x tende ao ponto c, então A=B.

Demonstração: Se e>0 é arbitrário, então existe d'>0 tal que

|f(x)-A| < e/2

sempre que 0<|x-a|0 tal que

|f(x)-B| < e/2

sempre que 0<|x-a|0, temos que:

|f(x)-A| < e/2 e |f(x)-B|
sempre que 0<|x-a|
|A-B| = |A-f(x)+f(x)-B| < |A-f(x)| + |f(x)-B|

e como e>0 é arbitrário, temos:

|A-B| < e

então |A-B| = 0, o que garante que A=B.



Exercício: Se |z|0, mostre que z=0.


Limites Infinitos
Seja f a função definida por f(x)=1/x. Iremos analisar o comportamento numérico desta função através das tabelas abaixo.

Comportamento de f à esquerda de x=0
x -1 -0,1 -0,01 -0,001 -0,0001
f(x) -1 -10 -100 -1000 -10000

Quando x0, por valores maiores que zero (x0+) os valores da função crescem sem limite.

Comportamento de f à direita de x=0
x 1 0,1 0,01 0,001 0,0001
f(x) 1 10 100 1000 10000

Quando x0, por valores menores que zero (x0_) os valores da função decrescem sem limite.

Observamos que próximo de x=0, o comportamento da função é estranho.



Baseado neste exemplo, podemos afirmar que quando x tende a 0 esta função não tem os valores se aproximando de um limite bem definido.



Ao analisar o comportamento numérico de f(x)=1/x², nas proximidades de x=0, observamos que:

Comportamento de f à esquerda de x=0
x 1 -0,1 -0,01 -0,001 -0,0001
f(x) 1 100 10000 1000000 100000000

Comportamento de f à direita de x=0
x 1 0,1 0,01 0,001 0,0001
f(x) 1 100 10000 1000000 100000000


Observamos pelas tabelas, que se x0, por valores maiores ou menores do que 0, os valores da função crescem sem limite. Assim, podemos afirmar, por este exemplo que, quando x0 esta função tem os valores se aproximando de um limiar (inf=infinito=). Neste caso, dizemos que não existe o limite de f(x)=1/x² no ponto x=0, mas denotamos tal fato por:

Limx0 1/x²=+

Por causa desta notação costuma-se dizer que algumas funções têm limites infinitos e por causa deste limite, dizemos também que o gráfico desta função tem uma assíntota vertical, que é uma reta cuja equação é dada por x=0, neste caso.

Definição: Seja f uma função definida para todo x em I, exceto possivelmente no ponto x=a em I um intervalo aberto contendo a. Diz-se que f tem limite infinito, quando x se aproxima de a, o que é denotado por:

limxa f(x)=+

se, para todo número real L>0,existir um d>0 tal que se 0<|x-a|
f(x) > L

De modo similar, g(x)=-1/x² apresenta um gráfico com todos os valores da imagem no intervalo (-,0). O comportamento de g próximo de x=0 é similar ao de f(x)=1/x², porém os valores são negativos. Neste caso, dizemos que não existe limite no ponto x=0, no entanto representamos tal resultado por:

Limx0 -1/x²=+



Definição: Se o limite de f(x) tende a infinito, quando xa pela esquerda e também pela direita, dizemos que o limite de f(x), quando xa é infinito e escrevemos:

limxaf(x) = +

Analogamente, a expressão matemática:

limxaf(x)=-

significa que f(x) tende a -, se xa pela esquerda e também pela direita.


Limites no Infinito
Analisaremos agora o comportamento de h(x)=1/x, quando x cresce arbitrariamente (x) ou quando x decresce arbitrariamente (x-).

Comportamento de h para x pequenos
x -1 -10 -100 -1000 -10000 -100000
h(x) -1 -0,1 -0,01 -0,001 -0,0001 -0,00001

Comportamento de h de h para x grandes
x 1 10 100 1000 10000 100000
h(x) 1 0,1 0,01 0,001 0,0001 0,00001


Pelas tabelas observamos que:

Limx+ h(x) = 0
Limx- h(x) = 0

e quando construimos o gráfico de h, observamos que existe uma reta (assíntota) horizontal que é a reta y=0, que nunca toca a função mas se aproxima dela em + e em -.



Temos então uma definição geral, englobando tal situação:



Definição: Seja f uma função definida para todos os valores do intervalo (a,). Escrevemos:



quando, para todo e>0, existe um número real M>0 tal que |f(x)-L|M.

Formalizaremos agora o conceito de assíntota horizontal.



Definição: Dizemos que a reta y=L é uma assíntota horizontal do gráfico de f se

ou


Propriedades dos limites
Muitas funções do Cálculo podem ser obtidas como somas, diferenças, produtos, quocientes e potências de funções simples. Introduziremos propriedades que podem ser usadas para simplificar as funções mais elaboradas. Em todas as situações abaixo, consideraremos xa.

Se f(x)=C onde C é constante, então

Lim f(x) = Lim C = C

Se k e b são constantes e f(x) = kx+b, então

Lim f(x) = Lim (kx+b) = ka+b

Se f e g são duas funções, k uma constante, A e B números reais e além disso Lim f(x)=A e Lim g(x)=B, então:

Lim(f ± g)(x) = [Lim f(x)] ± [Lim g(x)] = A ± B

Lim(f·g)(x) = [Lim f(x)]·[Lim g(x)] = A·B

Lim(k·f)(x) = k·Lim f(x) = k·A

Lim(f)n(x) = (Lim f(x))n = An

Lim(f÷g)(x) = [Lim f(x)]÷[Lim g(x)] = A÷B, se B é não nulo.

Lim exp[f(x)]= exp[Lim f(x)] = exp(A)

Se acontecer uma das situações abaixo:

Lim f(x) = 0

Lim f(x)>0 e n é um número natural

Lim f(x)<0 e n é um número natural ímpar

então





Observações sobre as propriedades:

As propriedades que valem para duas funções, valem também para um número finito de funções.

As propriedades 3-a, 3-b e 3-e estabelecem que se existem os limites das parcelas, então, existirá o limite da operação, mas a recíproca deste fato não é verdadeira, pois o limite de uma operação pode existir sem que existam os limites das parcelas.

Teorema do anulamento: Se f é uma função limitada e g é uma função tal que Lim g(x)=0, quando xa, então:

Lim f(x)·g(x) = 0

Este resultado útil para podermos obter cálculos com limites.



Teorema do Confronto (regra do sanduiche): Se valem as desigualdades f(x)
Lim f(x) = L = Lim h(x)

então:

Lim g(x) = L



Exemplo: Se para x próximo de 0, vale a relação de desigualdades:

cos(x) < sen(x)/x < 1

então, quando x0:

1 = Lim cos(x) < Lim sen(x)/x < Lim 1 = 1



Observações: Todas as propriedades vistas para o cálculo de limites, são válidas também para limites laterais e para limites no infinito.

Quando, no cálculo do limite de uma função, aparecer uma das sete formas, que são denominadas expressões indeterminadas,



nada se poderá concluir de imediato sem um estudo mais aprofundado de cada caso.


Um Limite Fundamental
Estudaremos agora um limite fundamental que é utilizado na obtenção da derivada da função seno.

Limx0sen(x)/x = 1

A derivada da função f(x)=sen(x) no ponto x=a, pode ser obtida pelo limite

f'(a)=Limxa (sen(x)-sen(a))/(x-a)

mas

sen(x)-sen(a) = 2 sen[(x-a)/2].cos[(x+a)/2]

então

f'(a)=Lim 2 sen[(x-a)/2].cos[(x+a)/2]/(x-a)
f'(a)=Lim cos[(x+a)/2].sen[(x-a)/2]./[(x-a)/2]

Com x=a+2u, reescreveremos a última expressão como:

f'(a)=Lim cos(a+u).sen(u)/u=Lim cos(a+u).Lim sen(u)/u

e quando u0, segue que:

f'(a)=cos(a)

De um modo geral, a derivada da função seno é a função cosseno e escreveremos:

sen'(x) = cos(x)


--------------------------------------------------------------------------------
ajudei.ok