obter a equaçao da circunferencia que passa pela origem, tem centro na reta...?

Question

...continuaçao....
y = 2 e tangencia a reta (r) x + y - 8 = 0

Answer 1

Olá! Vou tentar te ajudar, espero que tenha boa noção de geometria analítica para você entender.
Bom, o problema nos diz que o centro da circunferencia está na reta y = 2 ... isso quer dizer que x = 0 e nosso y = 2, ou seja, nosso centro é C ( 0 , 2).
A equação da circunferência é dada por (x - a)² + (y-b)² = r² , em que (x,y) são os pontos que fazem parte da circunferência, (a,b) são os pontos do centro e r² , o raio da circunferência elevado ao quadrado.
Temos o centro C ( 0 , 2 ), agora só nos resta descobrir o raio da circunferência. Isso é fácil, temos uma reta que tangência a circunferência. Como ela toca só uma vez na circunferência, dá pra gente descobrir o raio, porque a distancia do centro à reta, vai ser exatamente sobre um ponto da circunferência.
Fazemos com a fórmula da distância de ponto a reta, que é dada por d = | (a . xp) + (b . yp) + c | / V(a² + b²), em que 'xp' é x do centro e 'yp' y do centro... como a reta é dada por ax + by + c = 0, a gente substitui, e o 'V' é a raiz quadrada.
d = | (1 . 0 ) + ( 1 . 2 ) - 8 | / V(1² + 1²)
d = |-6| / V2 = 6/V2 .. racionalizando, temos (6V2)/2, e assim 3V2.

Descobrimos que o raio é 3V2, agora botamos na equação da circunferência.
C( 0 , 2 ) r = 3V2
(x - 0)² + (y - 2)² = (3V2)²
x² + (y - 2)² = 9 . 2
x² + (y - 2)² = 18... tá lá

ou continuando.. x² + y² - 4y + 4 = 18
x² + y² - 4y = 14

Espero que tenha entendido.

Answer 2

Ola
Sejam:
> o sistema de coordenadas cartesiano xOy;
> C uma circunferencia de raio R e centro Q(x0,2);
> a equaçao geral da circunferencia C é: (x-x0)² + (y-2)²=R²
> t: a reta tangente a C, dada pela equaçao: y=-x+8
> a origem O pertence a C, logo C(0,0) pertence a C;

> Nosso problema agora e determinar a origem Q e o raio R.

> Vamos determinar os seguintes pontos da reta t:
se x=0 ==> y=8, logo determinamos o ponto A(0,8);
se y=0 ==> x=8, logo determinamos o ponto B(8,0);
Assim determinamos o triangulo retangulo AOB, com angulo reto em O;

> Vamos traçar uma reta "s" passando pelos pontos O(0,0) e Q(x0,2), logo vemos que a unica possibilidade da curva tangenciar a reta "t" é no ponto medio P do segmento AB e isto ocorre qdo "s" perpendicular a "t". Pela geometria analitica, este ponto é P(4,4);

> Vamos escrever a equaçao da reta "s". Como a reta s é perpendicular a reta "t", logo o coeficiente angular da reta s é dado por m=-1/(-1), -1 eh o coef angular da reta "t", assim m=1. Como "s" passa pelo ponto O(0,0), logo temos que
s: y=x.

> Agora podemos determinar o centro da circunf, pois sabemos que a reta s passa pela origem Q(x0,2), e como vimos acima x=y, logo x0=2, dai a origem da curva C é Q(2,2). Portanto a equaçao geral da circunferencia fica:
C: (x-2)² + (y-2)²=R²

> temos agora que determinar o raio R da circunferencia. Por hipotese, a origem do sistema cartesiano pertence a curva C, logo C(0,0). Assim vamos substituir o (0,0) na equaçao geral da reta obtida acima:
(x-2)² + (y-2)²=R² ==> (0-2)² + (0-2)²=R² ==> R² =4+4.
Assim, R²=8.

> para finalizar, escrevemos a equaçao da circunferencia com raio R=√8 e centro Q(2,2), sendo:
C: (x-2)² + (y-2)²=8

> Verificaçao:
expandindo a equaçao geral da circunferencia acima:
(x²-4x+4) +(y²-4y+4)=8 ==> x²-4x +y²-4y=0
Substituindo y=-x+8 deveremos ter apenas um ponto tangenciando a circunferencia, ou seja:
x²-4x +(-x+8 )²-4(-x+8 )=0 ==> 2x² -16x+32=0
Assim, delta=0 e x=4; substituindo este valor na equaçao da reta t, obtemos y=4, que é justamente o ponto da reta que tangencia a circunferencia.

Espero que lhe ajude
Abraço

Answer 3

Vou tentar te ajudar,


(r) x+2-8=0
(r) x+2=8
(r) x=8-2
(r) x=6

Resposta: x=6 e y=2
beijos...

Answer 4

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