請問正合微分方程式怎算 ?急問

Question

有幾題我不會算想問一下大大 請詳細解答過程便選為最佳答案3q
1. 2cos(x+y)-2xsin(x+y)-2xsin(x+y)y'=0
2. 2y-y^2{{sec(xy^2)}^2}+ (2x-2xysec^2(xy^2))y'=0 ; y(1)=2 求解初值
第2題開頭是指2y減y平方再乘上 {sec(xy^2)}^2喔
3. xcos(2y-x)-sin(2y-x)-2xcos(2y-x)y'=0 ; y(pi/12)=pi/8求解初值

第2題可能並不是正合，而第3題pai的符號我不會打用pi表示
pi=3.14159喔 pi指徑度

Answer 1

1. 2 cos( x + y ) - 2x sin( x + y ) - 2x sin( x + y ) y' = 0sol：　　由原式得：[ 2 cos( x + y ) - 2x sin( x + y ) ]dx - 2x sin( x + y )dy = 0　　令 M( x , y ) = 2 cos( x + y ) - 2x sin( x + y )　　　 N( x , y ) = - 2x sin( x + y )　　( ∂M／∂y ) = - 2 sin( x + y ) - 2x cos( x + y )　　( ∂N／∂x ) = - 2 sin( x + y ) - 2x cos( x + y )　　( ∂M／∂y ) = ( ∂N／∂x ) → 正合 ( exact )　　若正合，必有一解，其型式為：F( x , y ) = C　　F =∫Ndy + c(x) =∫- 2x sin( x + y )dy + c(x)　　   = 2x cos( x + y ) + c(x)　　( ∂F／∂x ) = M　　→ 2 cos( x + y ) - 2x sin( x + y ) + c'(x) = 2 cos( x + y ) - 2x sin( x + y )　　→ c'(x) = 0 → c(x) = 0　　→ 2x cos( x + y ) = C #*2. 2y - y2( sec xy2 ) + ( 2x - 2xy sec2 xy2 ) y' = 0，y(1) = 2sol：　　由原式得：( 2y - y2 sec2 xy2 )dx + ( 2x - 2xy sec2 xy2 )dy = 0　　令 M( x , y ) = 2y - y2 sec2 xy2　　　 N( x , y ) = 2x - 2xy sec2 xy2　　( ∂M／∂y ) = 2 - 2y sec2 xy2 - 2xy3 tan xy2 sec2 xy2　　( ∂N／∂x ) = 2 - 2y sec2 xy2 - 2xy3 tan xy2 sec2 xy2　　( ∂M／∂y ) = ( ∂N／∂x ) → 正合 ( exact )　　若正合，必有一解，其型式為：F( x , y ) = C　　F =∫Ndy + c(x) =∫( 2x - 2xy sec2 xy2 )dy + c(x)　　   = 2xy -∫( 2xy sec2 xy2 )dy + c(x)　　   = 2xy - x∫( sec2 xy2 )d( y2 ) + c(x)　　   = 2xy - tan xy2 + c(x)　　( ∂F／∂x ) = M　　→ 2y - y2 sec2 xy2 + c'(x) = 2y - y2 sec2 xy2　　→ c'(x) = 0 → c(x) = 0　　→ 2xy - tan xy2 = C　　y(1) = 2 → x = 1 , y = 2　　→ 4 - tan 4 = C　　→ 2xy - tan xy2 = 4 - tan 4 #*3. x cos( 2y - x ) - sin( 2y - x ) - 2x cos( 2y - x ) y'，y( π／12 ) = ( π／8 ) sol：　　由原式得：[ x cos( 2y - x ) - sin( 2y - x ) ]dx - 2x cos( 2y - x )dy = 0　　令 M( x , y ) = x cos( 2y - x ) - sin( 2y - x )　　　 N( x , y ) = - 2x cos( 2y - x )　　( ∂M／∂y ) = - 2x sin( 2y - x ) - 2 cos( 2y - x )　　( ∂N／∂x ) = - 2 cos( 2y - x ) - 2x sin( 2y - x )　　( ∂M／∂y ) = ( ∂N／∂x ) → 正合 ( exact )　　若正合，必有一解，其型式為：F( x , y ) = C　　F =∫Ndy + c(x) =∫- 2x cos( 2y - x )dy + c(x)　　   = - x sin( 2y - x ) + c(x)　　( ∂F／∂x ) = M　　→ - sin( 2y - x ) + x cos( 2y - x ) + c'(x) = x cos( 2y - x ) - sin( 2y - x )　　→ c'(x) = 0 → c(x) = 0　　→ - x sin( 2y - x ) = c1 → x sin( 2y - x ) = - c1　　令 - c1 = C → x sin( 2y - x ) = C　　y( π／12 ) = ( π／8 ) → x = ( π／12 ) , y = ( π／8 )　　→ ( π／12 ) sin( π／6 ) = C　　→ C = ( π／24 )　　→ 2x cos( x + y ) = ( π／24 ) #*　　希望以上回答能幫助您。