工程數學有幾題不會解，李卡地方程式

Question

我這本書名是高等工程數學 ，裡面介紹的李卡地方程式看不太懂，而且別的工程數學根本就沒介紹李卡地 ，有幾題如下：
1. y'=(1/x^2)y^2-(1/x)y +1 這題是李卡地的形式或是別的形式?
2. y'=y/(x+y) 這題不知是不是齊次方程式的形式
3. y'+(1/x)y=(2/x^3)y^(-4/3)
以上題目請詳細解答過程並告知是屬於什麼方程式來解題的，若第一題是李卡地方程式 也麻煩告知我 李卡地方程式怎推導的(Riccati equation)
因為我查不到Riccati 的教學 別的工程數學也沒介紹耶
將選您為最佳答案3q

Answer 1

Bernoulli DE：y' = P ( x ) y + f ( x ) y^n　（白努力微分方程式）

Ricatti DE：y' = R ( x ) + P ( x ) y + f ( x ) y^2　（標準式長這樣）

仔細看一下兩個方程式有什麼不同？好像沒有差很多，就差一個 R ( x )

Ricatti 的解法，就是想辦法消掉 R ( x ) 後化為 Bernoulli DE

他的研究結果是，猜一個特解 y1 ( x )，令 y ( x ) = y1 ( x ) + u ( x )

所謂的特解是， y1 ( x ) 代入方程式當中會滿足，但這真的是猜出來的

y = y1 + u　，　y' = y1' + u'　代入　y' = R ( x ) + P ( x ) y + f ( x ) y^2　中

先寫成　y' - R ( x ) - P ( x ) y - f ( x ) y^2 = 0 　，方便你看的懂

y1' + u' = R ( x ) + P ( x ) [ y1 + u ] + f ( x ) [ y1 + u ]^2

整理可得　y1' - R ( x ) - P ( x ) y1 - f ( x ) y1^2 + u' = P ( x ) u + 2 f ( x ) × y1 × u^2

其中　y1' - R ( x ) - P ( x ) y1 - f ( x ) y1^2　就等於０了

剩下就是　u' = P ( x ) u + 2 f ( x ) × y1 × u + f ( x ) × u^2

或　　　u' - [ P ( x ) + 2 × f ( x ) × y1 ] u = f ( x ) × u^2　（同除 u^2）

可得　　u^-2 × u' - [ P ( x ) + 2 × f ( x ) × y1 ] / u = f ( x )　

　　令　 v = 1 / u　，　v' = - u^-2 × u'　代入整理

又得　　v' - [ P ( x ) + 2 × f ( x ) × y1 ] v = - f ( x )

上式就是一階線性 ODE，解出 v 後，再將 v 的地方換回 1/ u 後

整理一下，答案就是 y = u + y1，其中 u 的部份是通解，y1 的部份是特解

（１）　y'=(1/x^2)y^2-(1/x)y +1　或　x^2 y' = x^2 - x y + y^2　是 Ricatti DE 沒錯

　　　　順便也猜到特解 y1 ( x ) = x，令 y = x + u , y' = 1 + u' 代入

　　　　x^2 + x^2 u' = x^2 - x^2 - x u + x^2 + 2 x u + u^2　（該消的消一消後）

　　　　x^2 u' = xu + u^2　或　u' - ( 1 / x ) u = u^2 / x^2　（同除 u^2）

　　　　u^-2 u' - 1 / ( x u ) = 1 / x^2　（令 v = 1 / u , v' = - u^-2 u' 代入整理）

　　　　v' + ( 1 / x ) v = 1 / x^2　（積分因子是 x，全部同乘 x）

　　　　x v' + v = 1 / x　→　d / dx ( x v ) = 1 / x　→　d ( x v ) = d ( ln x )

　　　　兩邊積分得 x v = ln x + C　或　v = 1 / u = ( ln x + C ) / x

　　　　得　u = x / ( ln x + C )

　　　　代回 y = x + u 得 y = x + x / ( ln x + C )　（這是答案了）

（２）　是齊次方程式，同時也是以 ( 1 / y^2 ) 為積分因子的正合方程式

　　　　以齊次解法：全部同除 x 後，再令 v = y / x

　　　　　　　　　　或 y = x v 及 y' = v + x v' 代入化簡

　　　　可解出　ln y = ( x / y ) + C　（正合解出亦同）

（３）　是白努力方程式，這很多書上都有，就不需要我多贅言

　　　　參考課本的算法，相信你仿照書上的做法，你做的出答案

2006-10-27 04:39:41 補充：
底下這一行有打錯整理可得　y1' - R ( x ) - P ( x ) y1 - f ( x ) y1^2 + u' = P ( x ) u + 2 f ( x ) × y1 × u^2請改為　y1' - R ( x ) - P ( x ) y1 - f ( x ) y1^2 + u' = P ( x ) u + 2 f ( x ) × y1 × u + f ( x ) × u^2

2006-10-28 01:23:57 補充：
( x + y ) y' = y

同除 x 後，再令 v = y / x

即 y = x v　和　y' = v + x v'　代入

( 1 + v ) [ v + x v' ] = v

x ( 1 + v ) v' = - v^2

[ 1/v^2 + 1/v ] dv = - ( 1 / x ) dx

積分　-1/v + ln v = -ln x + C

lnx + ln(v) = 1/v + C

lnx + [ lny - lnx ] = x/y + C

ln y = x / y + C

2006-10-28 01:57:25 補充：
實在是有三百字的補充字數限制

不然我會加更多的文字輔助理解與看懂

希望您看的懂

2006-10-28 04:22:58 補充：
y1 = x 怎麼看出來的？

真的不是看出來的，是「猜」出來的

y' = ( 1 / x^2 ) y^2 - ( 1 / x ) y + 1　（　同乘 x^2　）

x^2 y' = y^2 - xy + x^2

這就跟因式分解一樣，猜比較小或好猜的而已

像常猜的就是 y = 1 , y = x , y = e^x , y = e^-x , ... 等

猜完後就是要代入，看看是否滿除原方程式

像本題 y = x 代入就會滿足，真的不是看來的

設計過的 Recatti 題目，不會出很難猜的啦

Answer 2

第一題固然是屬於Riccati equation，但是，只要稍為化簡的話：
y'=(1/x²)y²-(1/x)y+1
y'=y²/x²-y/x+1
y'=(y/x)²-y/x+1
這亦是屬於齊次微方方程，為甚麼沒有人看得出？