請教工程數學非正合微分方程式求積分因子

Question

還要計算通解才選最佳答案
1. (6x^2)y+12xy+y^2+(6x^2+2y)y'=0 求積分因子和通解
2. 4xy+6y^2+(2x^2+6xy)y'=0 求積分因子和通解
3. 2((y^3)-2)+3xy^2y'=0 ; y(3)=1 求積分因子和通解和初值問題之解
4. y(1+x)+2xy'=0 ; y(4)=6 求積分因子和通解和初值問題之解
5. 2xy+3y'=0 ; y(0)=4 求積分因子和通解和初值問題之解

請計算整個過程3q

Answer 1

1. 6x2y + 12xy + y2 + ( 6x2 + 2y ) y' = 0sol：　　原式移項得：( 6x2y + 12xy + y2 )dx + ( 6x2 + 2y )dy = 0　　令 M( x , y ) = 6x2y + 12xy + y2 　　　 N( x , y ) = 6x2 + 2y　　( ∂M／∂y ) = 6x2 + 12x + 2y　　( ∂N／∂x ) = 12x　　( ∂M／∂y ) ≠ ( ∂N／∂x ) → 非正合，找積分因子　　ƒ(x) = [ ( ∂M／∂y ) - ( ∂N／∂x ) ]／N　　　   = ( 6x2 + 2y )／( 6x2 + 2y )　　　   = 1　　積分因子：I(x) = e∫ƒdx = ex　　將積分因子乘入 D.E. → IMdx + INdy = 0　　→ ( 6x2exy + 12xexy + y2ex )dx + ( 6x2ex + 2yex )dy = 0　　令 P( x , y ) = 6x2exy + 12xexy + y2ex 　　　 Q( x , y ) = 6x2ex + 2yex　　( ∂P／∂y ) = 6x2ex + 12xex + 2yex　　( ∂Q／∂x ) = 12xex + 6x2ex + 2yex　　( ∂P／∂y ) = ( ∂Q／∂x ) → 正合 ( exact )　　F =∫Qdy + c(x) =∫( 6x2ex + 2yex )dy + c(x)　　　= 6x2exy + y2ex + c(x)　　( ∂F／∂x ) = P　　→ 12xexy + 6x2exy + y2ex + c'(x) = 6x2exy + 12xexy + y2ex　　→ c'(x) = 0 → c(x) = 0　　→ 6x2exy + y2ex = C #**4. y( 1 + x ) + 2xy' = 0，y(4) = 6sol：　　原式移項得：y( 1 + x )dx + 2xdy = 0　　令 M( x , y ) = y( 1 + x ) 　　　 N( x , y ) = 2x　　( ∂M／∂y ) = 1 + x　　( ∂N／∂x ) = 2　　( ∂M／∂y ) ≠ ( ∂N／∂x ) → 非正合，找積分因子　　ƒ(x) = [ ( ∂M／∂y ) - ( ∂N／∂x ) ]／N　　　   = ( x - 1 )／2x　　　   = ( 1／2 ) - ( 1／2x )　　積分因子：I(x) = e∫ƒdx = e∫[ ( 1／2 ) - ( 1／2x ) ]dx　　　　　　　　   = e ( x／2 ) e ( - 1／2 ) ln│x│　　　　　　　　   = e ( x／2 ) x ( - 1／2 )　　將積分因子乘入 D.E. → IMdx + INdy = 0　　→ y [ e ( x／2 ) x ( - 1／2 ) + e ( x／2 ) x ( 1／2 ) ]dx + 2e ( x／2 ) x ( 1／2 )dy = 0　　令 P( x , y ) = y [ e ( x／2 ) x ( - 1／2 ) + e ( x／2 ) x ( 1／2 ) ]　　　 Q( x , y ) = 2e ( x／2 ) x ( 1／2 )　　( ∂P／∂y ) = e ( x／2 ) x ( - 1／2 ) + e ( x／2 ) x ( 1／2 )　　( ∂Q／∂x ) = e ( x／2 ) x ( 1／2 ) + e ( x／2 ) x ( - 1／2 )　　( ∂P／∂y ) = ( ∂Q／∂x ) → 正合 ( exact )　　F =∫Qdy + c(x) =∫2e ( x／2 ) x ( 1／2 )dy + c(x)　　　= 2ye ( x／2 ) x ( 1／2 ) + c(x)　　( ∂F／∂x ) = P　　→ ye ( x／2 ) x ( - 1／2 ) + ye ( x／2 ) x ( 1／2 ) + c'(x) = y [ e ( x／2 ) x ( - 1／2 ) + e ( x／2 ) x ( 1／2 ) ]　　→ c'(x) = 0 → c(x) = 0　　→ 2ye ( x／2 ) x ( 1／2 ) = C　　y(4) = 6 → x = 4 , y = 6　　→ C = 24e2　　→ 2ye ( x／2 ) x ( 1／2 ) = 24e2 #*5. 2xy + 3y' = 0 , y(0) = 4sol：　　原式移項得：2xydx + 3dy = 0　　令 M( x , y ) = 2xy　　　 N( x , y ) = 3　　( ∂M／∂y ) = 2x　　( ∂N／∂x ) = 0　　( ∂M／∂y ) ≠ ( ∂N／∂x ) → 非正合，找積分因子　　ƒ(x) = [ ( ∂M／∂y ) - ( ∂N／∂x ) ]／N　　　   = ( 2x／3 )　　積分因子：I(x) = e∫ƒdx = e∫( 2x／3 )dx = exp( x2／3 )　　將積分因子乘入 D.E. → IMdx + INdy = 0　　→ 2xy exp( x2／3 )dx + 3 exp( x2／3 )dy = 0　　令 P( x , y ) = 2xy exp( x2／3 )　　　 Q( x , y ) = 3 exp( x2／3 )　　( ∂P／∂y ) = 2x exp( x2／3 )　　( ∂Q／∂x ) = 2x exp( x2／3 )　　( ∂P／∂y ) = ( ∂Q／∂x ) → 正合 ( exact )　　F =∫Qdy + c(x) =∫3 exp( x2／3 )dy + c(x)　　　= 3y exp( x2／3 ) + c(x)　　( ∂F／∂x ) = P　　→ 2xy exp( x2／3 ) + c'(x) = 2xy exp( x2／3 )　　→ c'(x) = 0 → c(x) = 0　　→ 3y exp( x2／3 ) = C　　y(0) = 4 → x = 0 , y = 4　　→ C = 12　　→ 3y exp( x2／3 ) = 12 #*　　因為回答內容會超過兩千字，系統不給 PO 文，而我第 2.、3. 算到一半又算不出來，所以把第 2.、3. 的計算過程刪除，抱歉囉！希望以上回答能幫助您。

Answer 2

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