Será que alguém saberia responder a essa dúvida?

Question

É o seguinte: Seja "x" um vetor não-nulo no espaço de Hilbert H. O complemento ortogonal de x, definido como E:={y pertencente a H tal que = 0} é um subespaço de codimensão 1 em H. Mostrar que x e y possuem o mesmo complemento ortogonal se, e somente se, um é múltiplo do outro.

Answer 1

O Teorema da Representação de Riesz

O teorema afirma que o espaço dual H' de um espaço de Hibert H é isometricamente isomorfo a H.
Um espaço de Hilbert H é um espaço vetorial normado completo cuja norma é proveniente de um produto interno (. /. ) definido em H, isto é, onde a norma de cada x em H é igual à raiz quadrada de ( x / x ).
Um funcional linear contínuo sobre H é uma aplicação linear contínua de H no corpo K dos escalares (K=R ou K=C). Nosso objetivo é caracterizar o espaço dual H', isto é, o espaço dos funcionais lineares contínuos sobre H.
Seja H um espaço de Hilbert e y um elemento de H. Mostramos inicialmente que a aplicação Fy definida por Fy(x)=(x/y) para todo x em H é um funcional linear contínuo sobre H e que a norma de Fy em H' é igual à norma de y.
Teorema de Representação de Riesz: Para todo funcional linear contínuo f sobre H existe um único y em H tal que f = Fy .
Na demonstração do teorema que é usualmente apresentada nos cursos de teoria básica dos espaços de Hilbert (que é essencialmente a dada por Riesz), o vetor representante y é escolhido em função da escolha de um vetor (não nulo) arbitrário z no espaço ortogonal ao núcleo Ker f. É uma demonstração elegante, mas a gente não tem uma visão clara do que está realmente acontecendo. Essa nova prova do teorema que apresentaremos foi apresentada por M. Pavone em [1] e nela o vetor representante y é escolhido de uma maneira mais intrínseca , sem a dependência da escolha de algum outro vetor.

Answer 2

x é múltiplo de y se e só se eles geram a mesma reta em H, portanto, geram o mesmo complemento ortogonal.
Ou equivalentemente, se z é ortogonal a x , isto é, se =0,
então, y é múltiplo de x se e só se y=kx, e assim, ==k=0 (k um escalar qualquer) . Logo, z é ortogonal a y também.