O que é polígono circunscrito e inscrito?

Answer 1

Significa que o polígono envolve (circunscrito) ou está envolvido (inscrito) por outra forma geométrica.

Este polígono circunscrito ou inscrito tem todos os seus vértices sobre os segmentos que formam a outra figura na qual ele está circunscrito ou inscrito.

Exemplo: um triângulo inscrito numa circunferência.

Isso significa que o triângulo está ''dentro'' da circunferência e seus três vértices a tocam.

Answer 2

O polígono inscrito é todo polígono que se encontra na região interior de um outro polígono ou sólido geométrico, já o polígono circunscrito é todo polígono que se encontra na região exterior de um outro polígono ou sólido geométrico. Na pratica, o polígono inscrito esta dentro de um outro polígono e o polígono circunscrito esta fora da região de um outro polígono.

Answer 3

Se tivermos n pontos em determinada ordem, não colineares, a figura resultante da união dos pares de pontos consecutivos será composta de n-1 segmentos e se chama LINHA POLIGONAL ABERTA .
Se unirmos o último ponto ao primeiro, a figura constará de n segmentos e se chamará LINHA POLIGONAL FECHADA ou POLÍGONO .
Aos pontos chamamos vértices e aos segmentos, lados.

Assim:

Polígono: área limitada por uma linha poligonal fechada e seu contorno.

Vértice: é o ponto de encontro de dois lados consecutivos (A,B,C,D,E)

Ângulo interno: ângulo formado por dois lados do polígono ( a )

Ângulo externo: ângulo formado por um lado qualquer e o prolongamento do lado adjacente ( b )

Diagonal: segmento que une dois vértices não consecutivos do polígono convexo ( d )

Perímetro ( 2p ): é a soma das medidas dos lados do polígono.

Tipos de polígonos:

Convexo: quando não pode ser encontrado por uma reta em mais de dois pontos .

Côncavo: quando seus lados podem ser encontrados por uma reta em mais de dois pontos .


Equilátero: tem seus lados iguais (ex: losango).

Equiângulo: tem seus ângulos internos iguais (ex: retângulo).

Regular: tem seus lados e ângulos iguais.

Semi-regular: quando for equilátero e possuir ângulos alternadamente iguais (ex: losango) ou equiângulo e lados alternadamente iguais (ex: retângulo).

Irregular: quando possuir lados ou ângulos desiguais.

Entrecruzado: é aquele que possui um ponto comum em 2 lados não consecutivos.

Estrelado: é aquele entrecruzado, equiângulo e equilátero.

Inscrito: é aquele polígono cujos lados são cordas de uma circunferência.

Circunscrito: seus lados são retas tangentes à circunferência.


Nomenclatura (em função do número de lados - n
n = 3 triângulo

n = 4 quadrilátero

n = 5 pentágono

n = 6 hexágono
n = 7 heptágono

n = 8 octógono

n = 9 eneágono

n = 10 decágono


n = 11 undecágono

n = 12 dodecágono

n = 15 pentadecágono

n = 20 icoságono

OBS: quanto aos polígonos cujo número de lados não consta da relação acima, são designados simplesmente pelo seu número de lados. Ex: polígono de 17 lados.


Polígonos semelhantes:

Dois polígonos quaisquer com um mesmo número de lados são semelhantes se, e somente se, têm ordenadamente congruentes todos os ângulos e os lados homólogos proporcionais.

ABCDE º A’B’C’D’E’

A º A’ ; B º B’ ; C º C’ ; D º D’ ; E º E’

AB = BC = CD = DE = EA
A’B’ B’C’ C’D’ D’E’ E’A’


Teorema:
Dois polígonos regulares de mesmo nº de lados são semelhantes.

O º O’

A º A’ ; B º B’ ; C º C’ ;

D º D’ ; E º E’ ; F º F’

AB = BC = CD = DE = EF º FA = K
A’B’ B’C’ C’D’ D’E’ E’F’ F'A'





Polígono regular:

Chama-se polígono regular todo polígono convexo que tem:
a) todos os lados congruentes entre si
b) todos os ângulos congruentes entre si


Teorema Fundamental:

Se uma circunferência é dividida em N (n > 3) arcos congruentes entre si, então:
a) as cordas que unem os pontos de divisão consecutivos formam um polígono regular inscrito de n lados.
b) as tangentes traçadas pelos pontos de divisão formam um polígono regular circunscrito com n lados.

Recíproca: todo polígono regular é inscritível e circunscritível.



Elementos de um polígono regular:

Centro: de um polígono regular é o centro comum das circunferências inscrita e circunscrita ( O ).

Raio: de um polígono regular é o raio da circunferência circunscrita (OA ).

Apótema: é o segmento cujos extremos são o centro do polígono regular e o ponto médio de um lado ( OM ). O apótema é congruente com o raio da circunferência inscrita.

Ângulo cêntrico: de um polígono regular é o ângulo formado por dois raios consecutivos ( DÔC ). A medida de um ângulo cêntrico de um polígono regular de n lados é, em graus, 360o/n.


Construção de polígonos regulares:

Para a construção de polígonos regulares, leva-se em consideração o número de lados ou o raio da circunferência na qual o polígono é inscrito.

Considerando o número de lados:

Processo de Delaistre: determina-se uma escala poligonal para a construção de polígonos de 5 a 12 lados (conhece-se o lado).

Construção da escala poligonal de Delaistre

Exemplos da aplicação da escala poligonal de Delaistre:



Heptágono = centro em O7



Eneágono = centro em O9




Processos Particulares

Considerando o raio da circunferência circunscrita:

Processo de Bion-Rinaldini: processo de construção de qualquer polígono em função da circunferência circunscrita a esse polígono (conhece-se o raio da circunferência circunscrita).

Construção

Processos Particulares

Por semelhança de figuras

Construção

Polígonos estrelados:

Um polígono estrelado é formado por uma linha poligonal contínua (começa num ponto e volta nele) e se obtém quando, partindo de um ponto da divisão de uma circunferência em n partes iguais, volta-se ao mesmo ponto de partida após as uniões p a p, isto é, pulando p divisões.

Cálculo da possibilidade e número de polígonos e figuras estreladas

* Seja n o número de partes iguais em que foi dividida a circunferência.
* Divide-se n por 2.
* Considera-se todos os números inteiros menores que n/2.

n = nº de pontos
p ¹ 1
p < n/2

Exemplo para n = 9 (fig.8): n/2 = 4,5 p = 2, 3 e 4
p = 1 Indica-se os pontos da divisão ligados consecutivamente. Obtém-se um polígono regular inscrito

p = 2 Indica os pontos da divisão ligados tomando- se 2 arcos. Como 2 não é divisor de 9, obtém-se um polígono estrelado inscrito.

p = 3 Indica os pontos da divisão ligados tomando- se 3 arcos. Como 3 é divisor de 9, obtém-se uma figura estrelada inscrita.

p = 4 Indica os pontos da divisão ligados tomando- se 4 arcos. Como 4 não é divisor de 9, obtém-se um polígono estrelado inscrito.


OBS: Se o quociente de n/2 for inteiro, considera-se os números inteiros menores que ele, quociente. Ex: n = 10 n/2 = 5 p = 2, 3 e 4.
Propriedades:

1) Polígono inscrito:

* Nos polígonos inscritos todos os ângulos terão de ser inscritos.
* Em um polígono convexo inscrito que tenha um número par de vértices, a soma dos ângulos de lugar par é igual à soma dos ângulos de lugar ímpar.
* O centro da circunferência circunscrita a um polígono inscrito terá de eqüidistar de seus vértices, encontrando-se, por isso, na interseção das mediatrizes de seus lados .

2) Polígono circunscrito:

* Nos polígonos circunscritos todos os ângulos terão de ser circunscritos.
* O centro da circunferência inscrita a um polígono circunscrito terá de eqüidistar de todos os seus lados e por esta razão terá de ser o ponto comum de todas as bissetrizes de seus ângulos .


3) Polígonos regulares:

Se tivermos uma circunferência dividida em partes iguais, poderemos construir um polígono regular:

1º) pelo traçado das tangentes pelos pontos de divisão (polígono circunscrito);
2º) pelo traçado das tangentes pelos pontos médios dos arcos que estão compreendidos em cada ponto de divisão (polígono circunscrito);
3º) pela simples união dos referidos pontos de divisão (polígono inscrito).

Nota: A divisão da circunferência em 3 até 20 partes iguais é realizada por uma série de processos, onde se encontram os exatos e os aproximados. Assim, os processos de divisão da circunferência em 7, 9, 11, 13 e 17 são aproximados.


4) Relações entre polígonos inscritos e circunscritos:

* Quando se tem um polígono qualquer regular inscrito, os prolongamentos de seus apótemas vão determinar na circunferência pontos que, unidos aos vértices do polígono, determinarão outro polígono regular ainda inscrito, porém com o dobro do número de lados do polígono primitivo.
* Se pelos pontos determinados pelo encontro dos apótemas com a curva traçarmos paralelas aos lados do polígono inscrito, teremos um outro polígono semelhante, maior e circunscrito.

5) Outras propriedades:

* O apótema do TRIÂNGULO equilátero inscrito é igual à metade do lado do hexágono e, portanto, a metade do raio.

* O apótema do QUADRADO é a metade do lado.

* O lado do HEXÁGONO inscrito é igual ao raio da circunferência circunscrita.

* A menor diagonal do HEXÁGONO regular é igual ao lado do triângulo equilátero inscrito no mesmo círculo que circunscreve o hexágono.

* O lado do HEPTÁGONO inscrito é aproximadamente a metade do lado do triângulo equilátero inscrito no mesmo círculo.

* O lado do DECÁGONO inscrito é o maior segmento do raio dividido em média e extrema razão (segmento áureo do raio da circunferência circunscrita).

* O lado do PENTADECÁGONO inscrito numa circunferência é a extrema razão do raio desta mesma circunferência.

OBS: Veja demonstração dessas propriedades em processos particulares.

Notas

Espécie: é o número de circunferências que são obtidas pela soma dos arcos correspondentes, isto é, é o número de voltas que se dá em torno da circunferência até completar o polígono.

Gênero: é o número de lados de um polígono estrelado.

Polígono estrelado descontínuo (ou figuras estreladas): quando é constituído de dois ou mais polígonos, ou não. Neste caso, o perímetro do polígono não pode ser totalmente percorrido com um lápis, por exemplo, sem se levantá-lo do papel. Se partirmos de um ponto qualquer, não poderemos voltar a este mesmo ponto depois de ter percorrido totalmente o perímetro poligonal (é sempre composto de polígonos independentes estrelados).

Polígono estrelado contínuo: se, ao contrário, saindo de um ponto qualquer conseguimos voltar a este mesmo ponto, completando o perímetro poligonal, podemos escrever que o polígono é contínuo.