O que são polinômios?

Question

Tenho um livro do ensino médio e já começa o assunto com funções polinomiais.
Explica que funções polinomiais com uma variável ou simplesmente função polinomial é aquela cuja fórmula matemática é expressa por um polinômio.

Mas o que é um polinômio? Só deu pra entender que se trata de uma equação.

Vi esse site http://pessoal.sercomtel.com.br/matematica/medio/polinom/polinom.htm
e ainda não entendi nada.
Sei que "poli" tem algo a ver com duas coisas ou mais, mas o que são polinômios??

Answer 1

Polimônio é a união de vários monômios.

Monômio é uma expressão algébrica na qual não há operação de adição e/ou subtração entre a parte literal e a parte numérica.

Exemplo: 3x = 0

(3x) é um monômio, sendo que (3) é a parte numérica e (x) é a parte literal.

Com a união de monômios temos:

Binômio: 3x - 4w = 0
Trinômio: 4x + y - 4z = 0
Polinômio: x + 2y + 3z - 4w = 0

Answer 2

Polinômios são séries de monômios (ou termos), que por sua vez são expressões matemáticas na forma axn. Cada monômio é caracterizado por

um coeficiente, que na equação acima é representado por a;
uma variável, que na equação é representada por x; e
um expoente, que na equação é representado por n.
Assim, um polinômio é um conjunto de monômios, devidamente normalizados. A expressão mais correta é função polinomial, mas o uso de polinômio é consagrado. A função polinomial ou polinômio assume a forma:

P(x) = anxn + an - 1xn - 1 + an - 2xn - 2 + ... + a1x + a0
A função constante, P(x) = c, é um exemplo de função polinomial, bem como a função linear P(x) = ax + b.

Answer 3

Polonômio

A expressão axn + bxm chama-se binômio com variável x e com coeficientes inteiros a e b.

Assim, de modo geral, a expressão:

axn + bxn – 1 + ... + cx + d

será chamada de polinômio com variável x e com coeficientes (a, b, c, d).

Para lembrar:
Se tiver apenas três termos, ele será chamado de trinômio.

Exemplo:

São monômios com coeficientes inteiros:

2x4; – 8x2; 7x
7x2; 4x; – 8x5

São polinômios com coeficientes inteiros:

4x2 + x3 – 7x5 – 2
x7 + 8x9 – 2x3 + 5x + 4x2

3. Grau de um polinômio
Temos o polinômio

a + bx + cx2 + ... + dxn
onde a, b, c, ..., d são os coeficientes

Para lembrar:
O maior expoente n das potências de x que aparecem no polinômio é o grau do polinômio.

Exemplo:

O polinômio – 3x4 + 2x3 – 16x + 6 é de quarto grau, porque o maior expoente de x é 4.

O polinômio 8x5 – 3x2 – 2x + 16 é de quinto grau porque o maior expoente de x é 5.

4. Operações com polinômios
Soma de polinômios

Os polinômios são somados agrupando-se os termos semelhantes.

Exemplo:

Temos os polinômios P(x) e Q(x):

P(x) = 3x3 + 2x2 + x – 3
e
Q(x) = 2x3 – 6x2 + 1

Agrupamos os termos dos dois polinômios que tiverem o mesmo grau:

P(x) + Q(x) =
(3x3 + 2x2 + x – 3) + (2x3 – 6x2 + 1) =
3x3 + 2x3 + 2x2 – 6x2 + x – 3 + 1 =

O resultado será:

5x3 – 4x2 + x – 2

Agora vamos somar os polinômios:

P(x) = 4x3 + 2x2 + 1 com Q(x) = 2x2 + 2x + 1

O resultado será:

P(x) + Q(x) = 4x3 + 4x2 + 2x + 2

Multiplicação de polinômios

Para multiplicar dois polinômios, devemos aplicar a propriedade distributiva do produto dos números reais em relação à soma.

Exemplo:

(2x3) X (3x2 + 5x – 1) =
= 2x3 X 3x2 + 2x3 X 5x – 2x3 X 1 =

O resultado será:

6x5 + 10x4 – 2x3s

Para lembrar:
Para multiplicarmos dois polinômios quaisquer, devemos aplicar repetidamente a propriedade distributiva dos números reais.

Exemplo:

(3x + 4 ) X (x2 + 5x – 3) =
= 3x (x2 + 5x – 3) + 4 (x2 + 5x – 3) =
= 3x3 + 15x2 – 9x + 4x2 + 20x – 12 =
= 3x3 + 15x2 + 4x2 – 9x + 20x – 12 =

O resultado será:

3x3 + 19x2 + 11x – 12

Podemos dispor a operação da multiplicação de polinômios deste exemplo como uma multiplicação normal de números reais:


produtos parciais, graus agrupados por colunas
produto final

Na multiplicação de polinômios também é preciso agrupar os termos segundo seu grau, ou seja 0, 1, 2,...

Para lembrar:
Também devemos considerar o sinal (positivo ou negativo); além disso, na multiplicação de polinômios, não "levamos" nenhuma coluna à outra, como fazemos com os números reais.

Divisão de polinômios

Sejam os polinômios A(x) = x2 – 1 e B(x) = x + 1. Podemos comprovar, a partir dos produtos notáveis, que:

x2 – 1 = (x + 1) X (x – 1)

O polinômio Q(x) = x – 1 chama-se quociente dos polinômios A(x) e B(x).

O polinômio A(x) é o dividendo, enquanto o B(x) é o divisor.

Como existe o polinômio Q(x) = x – 1, tal que

A(x) = B(x) X Q(x)

podemos dizer que o polinômio x2 – 1 é divisível pelo polinômio x + 1.

5. Divisão de um polinômio pelo binômio x – a

O Dispositivo de Briot-Ruffini

Os matemáticos Paolo Ruffini (1765 a 1822) e A. Briot (1817 a 1882) idealizaram um método prático para o cálculo do quociente de um polinômio de grau n.

Para a aplicação desse dispositivo, usa-se o seguinte esquema:

• Na primeira linha colocam-se os coeficientes dos termos do polinômio dividendo, na ordem decrescente de seus expoentes. Se faltar algum termo, coloca-se um zero no lugar.
• Na terceira linha, após o traço, aparecem os coeficientes do quociente. O último número da terceira linha, situado dentro do retângulo, é o resto da divisão (R).

Comprovaremos que esta regra é uma simplificação da forma habitual de cálculo de uma divisão.

Para lembrar:
O dispositivo de Briot-Ruffini nos ajuda a achar os coeficientes do quociente e do resto quando fazemos a divisão de um polinômio por x – a.

Os binômios são do seguinte tipo, por exemplo:

x – 2
onde a = 2

x + 3 = x – (– 3)
onde a = – 3

x – 1/3
onde a = 1/3

Faremos primeiro a divisão entre polinômios, pela forma habitual (Figura 1):

O dispositivo de Briot-Ruffini tem as seguintes propriedades:

• O primeiro coeficiente do quociente é igual ao primeiro do dividendo.
• O segundo coeficiente do quociente é igual ao primeiro do quociente multiplicado por a, mais o segundo do dividendo.
• O resto é igual ao último coeficiente do quociente multiplicado por a, mais o último do dividendo.
• O grau do quociente é sempre uma unidade inferior ao grau do dividendo.

Podemos escrever essa divisão apenas com os coeficientes, isto é, sem os x da Figura 1, utilizando o dispositivo de Ruffini.

Figura 1

Os passos a seguir são indicados na Figura 2:

Figura 2

Observe que dentro dos retângulos há o mesmo que nos retângulos da Figura 1.

Uma vez calculados os coeficientes do quociente, podemos escrevê-los diretamente (recordando que o grau do quociente é uma unidade inferior ao do dividendo):

6x2 + 7x – 3

O resto é o último número obtido: – 7

Para lembrar:
Para aplicar corretamente o Dispositivo de Briot-Ruffini: na divisão, quando multiplicamos um termo do quociente pelo divisor, o multiplicamos por x e por
– a, mas depois mudamos seu sinal para subtraí-lo do dividendo. Por este motivo, dizemos que se multiplica por a, no Dispositivo de Briot-Ruffini.

6. Múltiplos e divisores
Tomamos como exemplo uma divisão exata:

Segundo a propriedade fundamental da divisão exata, sabemos que:

Dividendo = divisor X quociente + resto

Assim, podemos escrever a divisão anterior como produto de dois fatores:

8x2 – 14x – 15 = (2x – 5) (4x + 3)

O polinômio 8x2 – 14x – 15 é múltiplo de (2x – 5) e de (4x + 3).

Os polinômios (2x – 5) e (4x + 3) são divisores de 8x2 – 14x – 15.

Pois 8x2 – 14x – 15 é divisível por 2x – 5 e por 4x + 3.

De maneira geral, diremos que, ao dividirmos P(x) por D(x), se o resto for zero, então:

• P(x) é múltiplo de D(x) e Q(x)
• D(x) e Q(x) são divisores ou fatores de P(x)
• P(x) é divisível por D(x) e Q(x)

7. Valor numérico de um polinômio
Se temos o polinômio:

A(x) = x3 – 7x + 1

e supomos que x = 2, podemos substituir os x por este valor e efetuar a seguinte operação:

A(2) = 23 – 7 X 2 + 1 = 8 – 14 + 1 = – 5

Podemos dizer que o valor numérico do polinômio A(x), para x = 2, é igual a – 5, isto é, A(2) = – 5

Answer 4

A função polinomial
Um polinômio (função polinomial) com coeficientes reais na variável x é uma função matemática f:RR definida por:

p(x) = ao + a1x + a2x² + a3x³ +...+ anxn

onde ao, a1, a2, ..., an são números reais, denominados coeficientes do polinômio. O coeficiente ao é o termo constante.

Se os coeficientes são números inteiros, o polinômio é denominado polinômio inteiro em x.

Uma das funções polinomiais mais importantes é f:RR definida por:

f(x) = a x² + b x + c

O gráfico desta função é a curva plana denominada parábola, que tem algumas características utilizadas em estudos de Cinemática, radares, antenas parabólicas e faróis de carros. Ver o link A função quadrática nesta mesma página para entender a importância da função polinomial quadrática.

O valor numérico de um polinômio p=p(x) em x=a é obtido pela substituição de x pelo número a, para obter p(a).

Exemplo: O valor numérico de p(x)=2x²+7x-12 para x=3 é dado por:

p(3) = 2×(3)²+7×3-12 = 2×9+21-12 = 18+9 = 27


Grau de um polinômio
Em um polinômio, o termo de mais alto grau que possui um coeficiente não nulo é chamado termo dominante e o coeficiente deste termo é o coeficiente do termo dominante. O grau de um polinômio p=p(x) não nulo, é o expoente de seu termo dominante, que aqui será denotado por gr(p).

Acerca do grau de um polinômio, existem várias observações importantes:

Um polinômio nulo não tem grau uma vez que não possui termo dominante. Em estudos mais avançados, define-se o grau de um polinômio nulo mas não o faremos aqui.

Se o coeficiente do termo dominante de um polinômio for igual a 1, o polinômio será chamado mônico.

Um polinômio pode ser ordenado segundo as suas potências em ordem crescente ou decrescente.

Quando existir um ou mais coeficientes nulos, o polinômio será dito incompleto.

Se o grau de um polinômio incompleto for n, o número de termos deste polinômio será menor do que n+1.

Um polinômio será completo quando possuir todas as potências consecutivas desde o grau mais alto até o termo constante.

Se o grau de um polinômio completo for n, o número de termos deste polinômio será exatamente n+1.

É comum usar apenas uma letra p para representar a função polinomial p=p(x) e P[x] o conjunto de todos os polinômios reais em x.


Igualdade de polinômios
Os polinomios p e q em P[x], definidos por:

p(x) = ao + a1x + a2x² + a3x³ +...+ anxn
q(x) = bo + b1x + b2x² + b3x³ +...+ bnxn

são iguais se, e somente se, para todo k=0,1,2,3,...,n:

ak=bk

Teorema: Uma condição necessária e suficiente para que um polinômio inteiro seja identicamente nulo é que todos os seus coeficientes sejam nulos.

Assim, um polinômio:

p(x) = ao + a1x + a2x² + a3x³ +...+ anxn

será nulo se, e somente se, para todo k=0,1,2,3,...,n:

ak= 0

O polinômio nulo é denotado por po=0 em P[x].

O polinômio unidade (identidade para o produto) p1=1 em P[x], é o polinômio:

p(x) = ao + a1x + a2x² + a3x³ + ...+ anxn

tal que ao=1 e ak=0, para todo k=1,2,3,...,n.


Soma de polinômios
Consideremos p e q polinômios em P[x], definidos por:

p(x) = ao + a1x + a2x² + a3x³ +... + anxn
q(x) = bo + b1x + b2x² + b3x³ +... + bnxn

Definimos a soma de p e q, por:

(p+q)(x) = (ao+bo)+(a1+b1)x+(a2+b2)x²+...+(an+bn)xn

A estrutura matemática (P[x],+) formada pelo conjunto de todos os polinômios com a soma definida acima, possui algumas propriedades:

Associativa: Quaisquer que sejam p, q, r em P[x], tem-se que:

(p + q) + r = p + (q + r)

Comutativa: Quaisquer que sejam p, q em P[x], tem-se que:

p + q = q + p

Elemento neutro: Existe um polinômio po(x)=0 tal que

po + p = p

qualquer que seja p em P[x].

Elemento oposto: Para cada p em P[x], existe outro polinômio q=-p em P[x] tal que

p + q = 0

Com estas propriedades, a estrutura (P[x],+) é denominada um grupo comutativo.


Produto de polinômios
Sejam p, q em P[x], dados por:

p(x) = ao + a1x + a2x² + a3x³ +...+ anxn
q(x) = bo + b1x + b2x² + b3x³ +...+ bnxn

Definimos o produto de p e q, como um outro polinômio r em P[x]:

r(x) = p(x)·q(x) = co + c1x + c2x² + c3x³ +...+ cnxn

tal que:

ck = aobk + a1bk-1 + a2 bk-2 + a3bk-3 +...+ ak-1 b1 + akbo

para cada ck (k=1,2,3,...,m+n). Observamos que para cada termo da soma que gera ck, a soma do índice de a com o índice de b sempre fornece o mesmo resultado k.

A estrutura matemática (P[x],·) formada pelo conjunto de todos os polinômios com o produto definido acima, possui várias propriedades:

Associativa: Quaisquer que sejam p, q, r em P[x], tem-se que:

(p · q) · r = p · (q · r)

Comutativa: Quaisquer que sejam p, q em P[x], tem-se que:

p · q = q · p

Elemento nulo: Existe um polinômio po(x)=0 tal que

po · p = po

qualquer que seja p em P[x].

Elemento Identidade: Existe um polinômio p1(x)=1 tal que

p1 · p = p

qualquer que seja p em P[x]. A unidade polinomial é simplesmente denotada por p1=1.

Existe uma propriedade mista ligando a soma e o produto de polinômios

Distributiva: Quaisquer que sejam p, q, r em P[x], tem-se que:

p · (q + r) = p · q + p · r

Com as propriedades relacionadas com a soma e o produto, a estrutura matemática (P[x],+,·) é denominada anel comutativo com identidade.


Espaço vetorial dos polinômios reais
Embora uma sequência não seja um conjunto mas sim uma função cujo domínio é o conjunto dos números naturais, usaremos neste momento uma notação para sequência no formato de um conjunto.

O conjunto P[x] de todos os polinômios pode ser identificado com o conjunto S das sequências quase-nulas de números reais , isto é, as sequências da forma:

p = (ao,a1,a2,a3,a4,...,an,0,0,0,...)

Isto significa que após um certo número natural n, todos os termos da sequência são nulos.

A identificação ocorre quando tomamos os coeficientes do polinômio

p(x) = ao + a1x + a2x² + a3x³ +...+ anxn

e colocamos os mesmos entre parênteses e após o n-ésimo coeficiente colocamos uma quantidade infinita de zeros, assim nós temos somente uma quantidade finita de números não nulos, razão pela qual tais sequências são denominadas sequências quase-nulas.

Esta forma de notação

p = (ao,a1,a2,a3,a4,...,an,0,0,0,...)

funciona bem quando trabalhamos com espaços vetoriais, que são estruturas matemáticas onde a soma dos elementos e a multiplicação dos elementos por escalar têm várias propriedades.

Vamos considerar S o conjunto das sequências quase-nulas de números reais com as operações de soma, multiplicação por escalar e de multiplicação, dadas abaixo.

Sejam p e q em S, tal que:

p = (ao,a1,a2,a3,a4,...,am,0,0,0,...)
q = (bo,b1,b2,b3,b4,...,bn,0,0,0,...)

e vamos supor que m < n.

Definimos a soma de p e q, como:

p+q = (ao+bo,a1+b1,a2+b2,...,an+bn,0,0,0,...)

a multiplicação de p em S por um escalar k, como:

k.p = (kao,ka1,ka2,ka3,ka4,...,kam,0,0,...)

e o produto de p e q em S como:

p·q = (co,c1,c2,c3,c4,...,cn,0,0,0,...)

sendo que

ck = aobk + a1bk-1 + a2bk-2 + a3bk-3 +...+ ak-1b1+akbo

para cada ck (k=1,2,3,...,m+n).

O conjunto S com as operações definidas é: associativo, comutativo, distributivo e possui elementos: neutro, identidade, unidade, oposto.


Características do grau de um polinômio
Se gr(p)=m e gr(q)=n então

gr(p.q) = gr(p) + gr(q)
gr(p+q)

Algoritmo da divisão de polinômios
Dados os polinômios p e q em P[x], dizemos que q divide p se existe um polinômio g em P[x] tal que

p(x) = g(x) q(x)

Se p em P[x] é um polinômio com gr(p)=n e g é um outro polinômio com gr(g)=m
p(x) = q(x) g(x) + r(x)

Um caso particular importante é quando tomamos g(x)=x-c e

p(x) = ao + a1x + a2x² + a3x³ +...+ anxn

Como para todo k=1,2,3,...,n vale a identidade:

xk-ck = (x-c)( xk-1 + cxk-2 + c²xk-3 +...+ ck-2x+ck-1 )

então para

p(x) = ao + a1x + a2x² + a3x³ +...+ anxn

temos que

p(c) = ao + a1c + a2c² + a3c³ +...+ ancn

e tomando a diferença entre p(x) e p(c), teremos:

p(x)-p(c) = a1(x-c) + a2(x²-c²) + a3(x³-c³) +...+ an(xn-cn)

o que garante que podemos evidenciar g(x)=x-c para obter

p(x)- p(c)=(x-c) q(x)

onde q=q(x) é um polinômio de grau n-1. Assim, podemos escrever:

p(x)=(x-c) q(x)+p(c)

e é claro que r(x)=p(c) é um polinômio de grau 0.


Zeros de um polinômio
Um zero de um polinômio real p em P[x] é um número c, que pode ser real ou complexo, tal que p(c)=0. O zero de um polinômio também é denominado raiz do polinômio.

Uma consequência do Algoritmo da Divisão de polinômios é que:

x-c é um fator de p se, e somente se, r(x)=f(c)=0

o que é equivalente a:

c é um zero de p, sse, x-c é um divisor de p=p(x)


Equações Algébricas e Transcendentes
Uma equação algébrica real na variável x é uma relação matemática que envolve apenas um número finito de operações de soma, subtração, produto, divisão e radiciação de termos envolvendo a variável x.

Exemplos

2x²+3x+7=0

3x²+7x½=2x+3

A função exponencial exp(x)=ex pode ser escrita como um somatório com infinitos termos contendo potências de x:

ex = 1 + x +x²/2! + x³/3! + x4/4! + x5/5! +...

assim, a equação

x²+7x=ex

não é uma equação algébrica, o que equivale a dizer que esta equação é transcendente.

Quando a equação é da forma:

p(x) = 0

onde p é um polinômio real em P[x], ela será chamada equação polinomial.

Quando uma equação possui a variável sob um sinal de radiciação ela é chamada equação irracional.

Exemplo: 2x²+3x+7 =0 e 3x²+7x½=2x+3 são equações algébricas. A primeira é polinomial, mas a segunda não é polinomial. Esta segunda é uma equação irracional.

Observação: Uma equação algébrica irracional sempre poderá ser colocada na forma de uma equação polinomial. Quando uma equação algébrica irracional é transformada em uma equação polinomial, as raízes da nova equação poderão não coincidir com as raízes da equação original e as raízes obtidas desta nova equação que não servem para a equação original são denominadas raízes estranhas.

Exercício: Apresentar uma equação irracional que tenha raízes estranhas.


Métodos de resolução algébrica
Alguns tipos especiais de equações podem ser resolvidos.

Equação do 1o. grau: A equação ax+b=0 com a diferente de zero, admite uma única raíz dada por:

x = -b/a

Equação do 2o. grau: A equação ax²+bx+c=0 com a diferente de zero, admite exatamente duas raízes no conjunto dos números complexos, dadas por:

x1=(-b+R[b²-4ac] / 2a
x2=(-b- R[b²-4ac]/ 2a

onde R[z] é a raiz quadrada de z.

Nesta página há dois links que tratam sobre o assunto: Equações do Segundo grau que dá um tratamento mais detalhado sobre o assunto e Cálculo de raízes de uma Equação do 2o.grau que é um formulário onde você entra com os coeficientes e obtém as raízes sem muito esforço.

Equação cúbica: A equação ax³+bx²+cx+d=0 com a não nulo, admite exatamente três raízes no conjunto dos números complexos que podem ser obtidas pela fórmula de Tartaglia (Cardano).

Veja o nosso link O método de Tartaglia (Eq. do 3o.grau) onde você poderá encontrar material mais aprofundado sobre o assunto.

Para obter apenas o cálculo das três raízes de uma equação do 3o. grau, vá ao nosso link Raízes de uma Equação do 3o. grau.

Equação quártica: A equação ax4+bx³+cx²+dx+e=0 com a não nulo, admite exatamente quatro raízes no conjunto dos números complexos que podem ser obtidas pela fórmula de Ferrari.

Equação quíntica: Para equações de grau maior ou igual a 5, não existem métodos algébricos para obter todas as raízes, mas existem muitos métodos numéricos que proporcionam as raízes de tais equações com grande precisão.

Existe uma versão da planilha Kyplot disponível gratuitamente na Internet, que dispõe de um mecanismo capaz de calcular com grande precisão raízes de equações polinomiais de grau n.

Em Português, há um excelente livro que trata sobre Equações Algébricas e a história da Matemática subjacente: "O Romance das Equações Algébricas, Gilberto G. Garbi, Makron Books, São Paulo, 1999."


Teorema Fundamental da Álgebra
Teorema (Gauss): Toda equação algébrica polinomial com coeficientes reais ou complexos, admite no conjunto dos números complexos, pelo menos uma raiz.

Teorema equivalente: Toda equação algébrica polinomial de grau n, com coeficientes reais ou complexos, admite exatamente n raízes, no conjunto dos números complexos.

Consequência: Toda equação algébrica polinomial real de grau n, admite no máximo n raízes, no conjunto dos números reais.


Algumas identidades polinomiais
Ver o link Produtos Notáveis nesta mesma página onde existem 33 identidades polinomiais, sendo algumas não triviais.


Algumas desigualdades polinomiais
Algumas desigualdades bastante comuns que podem ser obtidas a partir das identidades polinomiais:

a²+b² > 2ab

(a+b)/2 > R[a.b]

a²+b²+c² > ab+ac+bc

onde R[x] é a raiz quadrada de x e o símbolo > significa maior ou igual.

Há vários livros de Matemática dedicados somente a desigualdades pois uma grande parte da Matemática é construída através deste conceito. Áreas onde existem muitas aplicações para as desigualdades são a Análise Matemática e a Programação Linear.


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Construída por Ulysses Sodré. Atualizada em 24/mar/2005.

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Answer 5

Bom,

Polinômio é uma equação com mais de uma variável, em que variáveis e constantes são combinadas usando somente as operações de soma, subtração, multiplicação e um expoente positivo.

Por exemplo: a0 + a1*x + a2*(x^2) + . . . + an*(x^n)

Isso é um polinômio.

Answer 6

tu ainda estuda isso?
bom + é uma coisa muito chata q cai muito na prova entao estuude
ah depois vem ...

Answer 7

Os polinômios são um ramo importante da matemática. É uma parte importante na área de funções, álgebra e matemática clássica.

Basicamente um polinômio é uma variável (um número que deve ser achado) multiplicada pelo mesmo número de vezes do valor da variável:

EX: Se eu chamar 5 de X (X = 5) e quiser achar X^2, devo fazer

X = 5
X*X = ?
5*5 = 5 + 5 + 5 + 5 + 5 = 25


Comumente são encontrados em formas de cadeias polinomais

EX: X^2 + X + 1 = 0

Lembrando que os números reais (1, 2, (5/4), RAIZ(2)) podem ser expressos como polinômios

EX: 3 = 3 * X^0 (lembrando da propriedade que qualquer número elevado à zero é igual a 1, 3*1 = 3)


Existem alguns sites disponíveis para pesquisa:
http://www.planetavestibular.hpg.ig.com.br/polinomios.htm
http://www.mat.ufmg.br/~protem/calc/fun/...

Answer 8

polinômios são entidades da forma
a0 + a1 x + a2 x² + a3 x³ +...+ an x^n
com an números reais.

Answer 9

São expressões matemáticas, como aquelas que você viu, com x, x ao quadrado e tal, só que com mais de um termo...

Answer 10

Polinômio de uma variável é toda expressão com a forma:


P(x) = An xn + An-1 xn-1 + An-2 xn-2 + … + A2 x2 + A1 x + A0


Onde:


x é a variável do polinômio.
n ∈ Ν, sempre em ordem decrescente e determina o GRAU do polinômio.
An, An-1, An-2, … , A2, A1, A0 são os COEFICIENTES do polinômio.


Exemplos: x4 + 2x3 – x2 – 10x + 8 é um polinômio de grau 4

3x3 – 10x2 + 5x + 7 é um polinômio de grau 3

x-2 + x – 10 não é polinômio porque -2 ∉ Ν

x 3/2 + x2 – 5x + 4 não é polinômio porque ∉ Ν


GRAU DE UM POLINÔMIO


Em um polinômio de uma variável o GRAU é o maior expoente da variável. O grau é sempre um número natural e indica o número de raízes do polinômio.


Exemplos: x5 + 2x3 – 10x + 5 é um polinômio de grau 5

x2 - 5x + 6 é polinômio de grau 2


POLINÔMIOS IDÊNTICOS


Dois polinômios são idênticos quando seus coeficientes de termos de mesmo grau são iguais.

Obs.: POLINÔMIO IDENTICAMENTE NULO é aquele que possui todos os seus coeficientes iguais a ZERO.


DIVISÃO DE POLINÔMIOS


1. DESCARTES (MÉTODO DAS CHAVES)




P(x) D(x)



→ P(x) = D(x).Q(x) + R(x)

R(x) Q(x)



P(x)→ Dividendo

D(x)→ Divisor

Q(x)→ Quociente

R(x)→ Resto


Obs.:

Grau do quociente = Grau do divisor – 1

Grau máximo do resto = Grau do divisor -1

Se na divisão de um polinômio P(x) por um polinômio D(x) encontramos resto R(x) = 0, dizemos que a divisão é EXATA e que o polinômio P(x) é DIVISÍVEL pelo polinômio D(x).


Exemplo: ( 8x3 + 8x2 – 21x + 7 ) ÷ ( 4x2 – 6x + 3 )





8x3 + 8x2 – 21x + 7 4x2 – 6x + 3





-8x³ + 12x² - 6x 2x + 5





+20x² - 27x + 7

-20x²+30x-15





3x - 8


Quociente: Q(x) = 2x + 5

Resto: R(x) = 3x - 8