工程數學...幫我解

Question

哪位大大可以幫我解這題!! X^2 * Y" - 4X*Y' + 6Y = X^2 - X

感謝唷!!^^

Answer 1

Problem：Solve x2y'' - 4xy' + 6y = x2 - xsol：　　這題是標準的 Cauchy - Euler 方程式，我們可以用簡單的方式來算。　　令 x = et → t = ln│x│　　y' = ( dy／dx ) = ( dt／dx )( dy／dt )　　　= ( 1／x )( dy／dt )　　y'' = ( d／dx )( 1／x )( dy／dt )　　　= ( 1／x2 )( d2y／dt2 ) - ( 1／x )( dy／dt )　　將 x = et、y'、y'' 代回 x2y'' - 4xy' + 6y = x2 - x 可得一新 o.d.e.　　→ ( d2y／dt2 ) - 5( dy／dt ) + 6y = e2t - et　　特徵方程式 ( characteristic equation )：r2 - 5r + 6 = 0　　→ ( r - 2 )( r - 3 ) = 0　　→ r = 2 , 3 ～ 相異實根　　→ yh = c1e2t + c2e3t　　　　  = c1x2 + c2x3 ～ 齊次解 ( homogenous solution )　　利用未定係數法 ( method of undetermined coefficient ) 求特解 yp。　　令 yp = Ate2t + Bet　　→ ( dyp／dt ) = Ae2t + 2Ate2t + Bet　　　 ( d2yp／dt2 ) = 4Ae2t + 4Ate2t + Bet　　( d2yp／dt2 ) - 5( dyp／dt ) + 6yp = e2t - et　　→ - Ae2t + 2Bet = e2t - et　　比較係數得：- A = 1 → A = - 1　　　　　　　　2B = 1 → B = ( 1／2 )　　→ yp = - te2t + ( 1／2 )et　　　　  = - x2 ln│x│+ ( x／2 ) ～ 特解 ( particular solution )　　通解 ( general solution )：y = yh + yp　　→ y = c1x2 + c2x3 - x2 ln│x│+ ( x／2 ) #*　　希望以上回答能幫助您。

2006-10-22 23:56:35 補充：
抱歉，是 2B = - 1，所以 B = ( - 1／2 )，差一個負號，抱歉囉！