Matemáticos de plantão, preciso de ajuda para PA?

Question

(FGV-SP) As progressões atitméticas: a1, a2, ... e b1, b2, ... têm razões respectivamente iguais a 3 e a 7.

a) Sabendo-se que a5 = b3, qual é o menor valor de " r ", superior a 5, para o qual existe " s " tal que ar = b8? ou bs ( não sei, não está muito legível)?

b) Se oe elementos comuns a essas duas progressões forem colocados em ordem crescente, eles formarão uma PA. Calcule a razão desta PA.

Answer 1

[Exercício a]

a5 = b3
a1+ 4 x 3 = b1+ 2 x 7
a1+ 12 = b1+ 14
a1 = b1+ 2

ar = a1+ 3(r- 1) = (b1+ 2)+ 3(r- 1) = b1+ 3r- 1
bs = b1+ 7(s- 1) = b1+ 7s- 7

ar = bs
b1+ 3r- 1 = b1+ 7s- 7
3r- 1 = 7s- 7
3r = 7s- 6
r = 7/3s- 2

Para que "r" seja um número inteiro, 7/3s tem que ser um número inteiro, ou seja, "s" tem que ser múltiplo de 3. O próximo número múltiplo de 3 depois de 3 é 6. Se s = 6,

r = 7/3 x 6- 2 = 14- 2 = 12

Resposta: r = 12.
--- --- --- --- --- ---
[Exercício b]

O primeiro elemento é a5 e o segundo, a12,

c1 = a5 = a1+ 4x 3 = a1+ 12
c2 = a12 = a1+ 11x 3 = a1+ 33 = (a1+ 12)+ 21

Mas é propriedade de uma PA que c2= c1+ (razão); logo,

(razão) = c2- c1
= (a1+ 12)+ 21- (a1+ 12)
= 21

Resposta: a razão da nova PA é 21.

Answer 2

na questão referida é s mesmo.
Sabe-se que ar = a5+ (r-5)·3 e bs = b3 + (s-3)·7
então se ar = bs
a5+ (r-5)·3 = b3 + (s-3)·7
(r-5)·3 = (s-3)·7
isolando s => (r-5)*3/7 + 3 = s
como s é inteiro, (r-5) é multiplo de 7
então, toda vez que (r-5) é multiplo de 7, ar = bs
O menor número que atende essa condição é 12.

Então, vamos agora FORÇAR que r-5 seja múltiplo de 7.
vamos fazer (r-5) = (n-5)*7
então a sequencia An = A5 + [(n-5)*7] *3 = A5+ (n-5)*21
que é uma PA de razão 21.