我想知道直角三角形Sin.Cos.Tan的理論

Question

我想知道直角三角形Sin.Cos.Tan的理論

Answer 1

三角函數在數學中屬於初等函數裡的超越函數的一類函數。它們的本質是任意角的集合與一個比值的集合的變數之間的映射。通常的三角函數是在平面直角坐標系中定義的，其定義域為整個實數域。另一種定義是在直角三角形中，但並不完全。現代數學把它們描述成無窮數列的極限和微分方程的解，將其定義擴展到複數系。
由於三角函數表現出周期性，所以它並不具有單值函數意義上的反函數。
三角函數在複數中有較為重要的應用。在物理學中，三角函數也是常用的工具。
它有六種基本函數：



函數名
正弦
餘弦
正切
餘切
正割
餘割

符號
sin
cos
tan (也作tg)
cot (也作ctg)
sec
csc
定義
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坐標系中


圖片參考：http://upload.wikimedia.org/wikipedia/commons/thumb/0/0a/Trigonometric_function1.gif/280px-Trigonometric_function1.gif



圖片參考：http://zh.wikipedia.org/skins-1.5/common/images/magnify-clip.png

設α是平面直角坐標系xOy中的一個象限角，
圖片參考：http://upload.wikimedia.org/math/a/c/a/acab7b73df4fbfbabce4e9077c511055.png
是角的終邊上一點， 0" src="http://upload.wikimedia.org/math/9/4/6/94681ab2d539a92a29764a2db509f7ee.png">是P到原點O的距離，則α的六個三角函數定義為：



函數名
定義
函數名
定義

正弦

圖片參考：http://upload.wikimedia.org/math/4/0/e/40e7cf1bd1ab28b7eba442491061debb.png

餘弦

圖片參考：http://upload.wikimedia.org/math/5/1/c/51cb136d37f08939017760e1c88b06ba.png


正切

圖片參考：http://upload.wikimedia.org/math/a/1/2/a1264150d7deb9b43f369e5a2095aa30.png

餘切

圖片參考：http://upload.wikimedia.org/math/b/6/0/b60e73fd40158d21158ab9c91d39026d.png


正割

圖片參考：http://upload.wikimedia.org/math/8/2/d/82d9f19032d2789745b91d36fcd6eb97.png

餘割

圖片參考：http://upload.wikimedia.org/math/a/0/b/a0b568d1188bdbc51e336d332822fee2.png

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直角三角形中

圖片參考：http://upload.wikimedia.org/wikipedia/zh/6/67/Tri_def.png

在直角三角形中僅有銳角三角函數的定義。

一個銳角的正弦是它的對邊與斜邊的比值。在圖中，sinA = 對邊/斜邊 = a/h。

一個銳角的餘弦是它的鄰邊與斜邊的比值。在圖中，cosA= 鄰邊/斜邊 = b/h。

一個銳角的正切是它的對邊與鄰邊的比值。在圖中，tanA = 對邊/鄰邊 = a/b。
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三角函數的初等性質
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三角恆等式
三角函數的特殊性質使得它們之間存在許多恆等式。
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同角三角函數間
利用三角函數的定義，可以得到以下恆等式：

倒數關係：


圖片參考：http://upload.wikimedia.org/math/6/9/a/69ac2f31d58a947db11ec26b312da4fb.png


圖片參考：http://upload.wikimedia.org/math/5/8/f/58fc192117ccdfc212e7cbf464777532.png


圖片參考：http://upload.wikimedia.org/math/5/4/8/548d04b318918a80ec6b38eaaab9170a.png

因為有了倒數關係，一般只使用sin、cos、tan三個函數。

平方關係：

sin2α + cos2α = 1
sec2α − tan2α = 1
csc2α − cot2α = 1

比值關係：


圖片參考：http://upload.wikimedia.org/math/3/a/d/3ad7c135953c64bb238f0c4ef59816df.png


圖片參考：http://upload.wikimedia.org/math/d/4/c/d4c6bf2528cdcca3f55cb6bfc35c1ea7.png

這一組關係將切與弦聯繫到了一起。