Área de um paralelogramo (GEOMETRIA ANALÍTICA)?

Question

1-Porque a área de um parelogramo na geometria analítica é somente, por ex: A=|u* X v*|. Na geometria euclidiana eu tenho que achar a altura e multiplicar pela base (A = b.h).
*são vetores (esses dois vetores seriam os lados do paralelogramo).

2-Seria interessante também se alguém pudesse me responder por que um vetor X o outro da uma um vetor "maluco" ortogonal ao dois (me parece um tanto incompreensivel).

Obrigado!

Answer 1

Ola
Existem algumas definiçoes abaixo que vou supor ser de seu conhecimento.
Como foi dito, a area de um paralelogramo é definida por:
A=b*h (1),
sendo b a base e h a altura do paralelogramo.
Tomemos agora dois vetores "u" e "v" linearmente independentes, que têm a mesma origem e que formam um angulo "a" entre eles. Vamos fixar o vetor u na horizontal, o qual tem o comprimento |u| e sera a base do paralelogramo, isto é, b=|u| (2). O comprimento do vetor v é |v|. Fazendo a projeçao do vetor v sobre o vetor u, encontramos a altura "h" do paralelogramo, e pela trigonometria, temos que h=|v|*sen(a) (3).
Substituindo os resultados (2) e (3) em (1), temos o seguinte:
A=b*h = |u|*|v|*sen(a) ==> A= |u|*|v|*sen(a) (4).
A equaçao (4) é exatamente a definiçao da norma do "produto vetorial" entre os vetores u e v. Se o produto vetorial é dado por: u x v, a sua norma será |u x v|, que é definida como:
|u x v|=|u|*|v|*sen(a).
Portanto, podemos calcular a area de um paralelogramo utilizando a definiçao de norma de um produto vetorial, que sao elementos da Geometria Analitica.
Deve-se tomar cuidado com a definiçao de produto vetorial (que definimos acima e usamos a notaçao "x", uxv) e produto escalar (vamos usar ). Assim dois vetores sao ortogonais se =0. E por ai vai ...
Espero que tenha lhe ajudado.
Abraço

Answer 2

Suponho q esse X seja um v de ponta cabeça neh?

Bom, pra começar, u* X v* = ||u*|| . ||v*|| . sen(angulo entre eles)

se vc for desenhar isso, vc vai ver que ( ||v*|| . sen ) vai dar exatamente a altura de um paralelogramo.
Agora, se vc multiplicar matricialmente vc obterá um vetor perpendicular, e sua norma terá o mesmo valor da área dos outros 2 vetores. Não sei se isso é uma coincidência (acredito que não, nada na matemática é coincidência), mas não sei explicar o porquê disso.

O produto vetorial serve pra calcular momento de inércia, torque e afins... e essas forças são perpendiculares às forças existentes.

Ex: Se vc girar a roda de uma bicicleta ela adquire uma força que a deixa de pé (por isso é mais fácil andar em uma bicicleta em alta velocidade do que em baixa velocidade), então essa força "bizarra" que a deixa de pé é resultado de um produto vetorial, meio difícil de compreender.

Answer 3

resposta 2 correta