Oque são complementos Ortogonais de um Espaço Euclidiano?

Answer 1

É de comer?

Answer 2

Ola
Seja V: k-Espaço Vetorial com produto interno <,> (suponho que conheça esta notaçao). Quaisquer u e v pertencente a V sao ortogonais, se =0. Tomando agora um subconjunto W de V (W esta contido em V). Define-se o conjunto "complemento ortogonal de W", Wco, da seguinte forma:
Wco={v pertencente a V, tal que =0, para todo w de W}. Nao é dificil de mostrar que Wco é um subespaço vetorial de V.
Tomemos agora R^n : R-Espaço vetorial de n-dimensao, munido da norma usual, que provem do produto interno: ||u||^2=.
A sua pergunta é: O que sao complementos ortogonais de um espaço euclidiano? Um exemplo para ilustrar:

Seja W o subespaço vetorial de R^5 (espaço euclidiano de 5-dim), com W sendo gerado por u={1,2,3,-1,2} e v={2,4,7,2,-1}. Encontre uma base do complemento ortogonal Wco de W.
Soluçao:
Devemos procurar todos os vetores w={x,y,z,s,t} tais que:
=x+2y+3z-s+2t=0 e
=2x+4y+7z+2s-t=0
Eliminando x da segunda expressao (escalonamento), encontramos o sistema equivalente:
=x+2y+3z-s+2t=0 e
= z+4s-5t=0
Assim as variaveis y,s e t sao independentes, podendo assumir qualquer valor, logo tomando:
y=-1, s=0 e t=0, obtem-se a soluçao: w1={2,-1,0,0,0};
y=0, s=1 e t=0, obtem-se a soluçao: w2={13,0,-4,1,0};
y=0, s=0 e t=1, obtem-se a soluçao: w3={-17,0,5,0,1};
Assim o conjunto {w1,w2,w3} é uma base de Wco.

Para finalizar, o complemento ortogonal do espaço euclidiano consiste em todos os vetores v pertencente a R^n, tal que =0, para todo w de R^n.

Espero que ajude
Abraço