工程數學線性微分方程式和部份積分怎算阿

Question

1.y'-2y= -8x^2 這題線性微分方程式 我有用分部積分來解 結果與答案不同
答案是y=4x^2+4x+2+ce^2x
2. y^2/(y+1)的積分 怎解 (請用部份積分解)
部份積分指：積分符號內的真分式要拆開成各個真分式才能積分
例如: ∫1/ x(x+1) dx = ∫(1/x) + (-1)/(x+1) dx = ∫(1/x) dx +∫(-1)/(x+1) dx
但我就是遇到很多真分式不懂怎拆開成各真分式的技巧
我高等工程數學過程中的積分還要用到分部和部份積分耶
我想知技巧啦 拜託阿
3. ln(y^x)y'=3(x^2)y
這題是可分離微分方程式，過程中對y的積分我也不會算

Answer 1

1. y' - 2y = - 8x2sol：　　一階線性 o.d.e.，必有一積分因子：I(x) = e∫- 2dx = e - 2x　　y = e2x (∫- 8x2e - 2xdx + c )　　您問的是∫- 8x2e - 2xdx 這個積分，用分部積分來算。　　分部積分公式：∫udυ = uυ -∫υdu　　令：u = - 8x2　　　則：du = - 16xdx　　　　dυ = e - 2xdx　　　　υ = - ( 1／2 )e - 2x　　∫- 8x2e - 2xdx = 4x2e - 2x -∫8xe - 2xdx　　令：u = - 8x　　　則：du = - 8dx　　　　dυ = e - 2xdx　　　 υ = - ( 1／2 )e - 2x　　∫- 8x2e - 2xdx = 4x2e - 2x + 4xe - 2x -∫4e - 2xdx　　　　　　　　= 4x2e - 2x + 4xe - 2x + 2e2x + c　　→ y = e2x (∫- 8x2e - 2xdx + c )　　   　 = e2x ( 4x2e - 2x + 4xe - 2x + 2e2x + c )　　   　 = 4x2 + 4x + 2 + ce2x　　→ y = 4x2 + 4x + 2 + ce2x #*2. y2／( y + 1 ) = ?　1／x( x + 1 ) = ?sol：　　這好像是我上次沒幫您講解的地方，真抱歉，這是用我們國中就學到的多項式除法，在這裡打除法實在很難讓人看懂，我盡量講解。　　( 3／2 ) 會算吧！( 3／2 ) 不是會得〝1〞餘〝1〞嗎？對吧！所以 ( 3／2 ) 可寫成↓　　( 3／2 ) = 1 + ( 1／2 )　　( 7／4 ) 也會算吧！( 7／4 ) 會得〝1〞餘〝3〞嗎？對吧！所以 ( 7／4 ) 可寫成↓　　( 7／4 ) = 1 + ( 3／4 )　　同理，y2／( y + 1 ) 會得〝y〞餘〝- y〞，所以 y2／( y + 1 ) 可寫成↓　　y2／( y + 1 ) = y - [ y／( y + 1 ) ]，還可以再化簡！　　y／( y + 1 ) 會得〝1〞餘〝- 1〞，故↓　　y2／( y + 1 ) = y - [ y／( y + 1 ) ]　　　　　　　 = y - [ 1 - 1／( y + 1 ) ]　　　　　　　 = y + [ 1／( y + 1 ) ] - 1　　→ y2／( y + 1 ) = y + [ 1／( y + 1 ) ] - 1 #　　以上只是國中數學而已，多練就好了，還有 1／x( x + 1 ) 直接拆項。　　1／x( x + 1 ) = ( k1／x ) + k2／( x + 1 )　　k1 = [ 1／( x + 1 ) ] x = 0 = 1　　k2 = [ ( 1／x ) ] x = - 1 = - 1　　→ 1／x( x + 1 ) = ( 1／x ) - 1／( x + 1 ) #*3. ln( yx ) y' = 3x2ysol：　　上次幫您算過很類似的，題目是 ln( yx ) y' = 3x2，現在這題 3x2 後多乘個 y，會更好算！我就直接寫出分離變數後的積分型式囉！　　∫[ ln(y)／y ]dy =∫3xdx + c　　( 1／y )dy = d [ ln(y) ]　　→∫ln(y) d [ ln(y) ] =∫3xdx + c　　→ ( 1／2 )[ ln(y) ]2 = ( 3x2／2 ) + c #*　　如果您還不知道 ( 1／y )dy 怎麼變成 d [ ln(y) ]，我可能要跟您說一點〝重話〞！學理工除非是數學系，否則實在不用會很難的微積分，但是以上的積分都是簡單的，會這些簡單的積分是我們非數學系學生的責任！　　如果您看的出來，那 ok！工程數學計算的部份差不多了，如果不會......真的要加強基礎微積分喔！　　　　希望以上回答能幫助您。

2006-10-19 20:23:43 補充：
　　這需要常常練習、要靠一點經驗，才能看的出來，例如：

( 1／y )dy = d( ln y )

　　很簡單，ln y 的微分您一定會！

( d／dy )( ln y ) = 1／y

→ d( ln y ) = ( 1／y )dy

2006-10-19 20:26:35 補充：
　　同理：cos x dx = d( sin x )

　　因為：( d／dx )( sin x ) = cos x


　　所以：d( sin x ) = cos x dx

　　能直接看出來，所需要的，只是常練習而已，加油！真的不難！

2006-10-20 21:29:00 補充：
∫tdt 這個積分您一定會，等於 ( 1／2 )t^2 + c，這是絕對沒問題的，那麼↓

∫( ln y )d( ln y )，這沒道理不會吧！把 ln y 視做 t 就好了，懂了嗎？

Answer 2

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Answer 3

我看懂了只是微分再移項而已，只是第3題你將原式用d [ ln(y) ] 更改原式後，( 1／2 )[ ln(y) ]2 這部份怎算的阿 謝謝

2006-10-20 22:30:25 補充：
懂了3q大大