¿Porque no se puede radicar siempre en los campos númericos "N", "Z" y "Q"?

Question

La teoría de los campos númericos nos impide restar y dividir en varios de ellos. Por el contrario nos permite sumar, multiplicar y exponenciar. ¿Cual es la razón y su argumento?

Answer 1

Mira, en N solo se puede sumar y multiplicar. Esto es porque, al introducir la resta, lo que realmente estas haciendo es incluir un bicho raro llamado "el inverso aditivo". Es decir, la resta se define como:

a - b = a + (-b)

en donde, como podrás comprender, el -b es el inverso aditivo de b (es decir, b + (-b) = 0). Pero el -b es un número negativo, el cual no pertenece a N, sino a Z, y entonces no se cumple la cerradura en los naturales al incluir la resta.

Ahora bien, sabemos por esto que en Z si puedes restar, además de sumar y multiplicar, ya que en Z si están definidos los negativos. Pero ahora en Z no puedes dividir, ya que ocurre algo similar con la división. La división es simplemente multipliar a un número por el inverso multiplicativo. Asi, la división se define como:

a / b = a * b^-1 (entiéndase como b elevado a la -1)

donde b^-1 es el inverso multiplicativo de b (es decir, b*b^-1=b*(1/b)=1 ). Pero esto es una fracción, por tanto no está definida en Z, y por ello no se cumple la cerradura en los enteros al incluir la división. Necesitas a Q para definir la división.

Como habrás notado, Z contiene a todos los elementos de N, y a su vez, Q contiene a todos los elementos de Z y, por tanto, a todos los elementos de N.

Ahora bien, volviendo a tu problema, no se puede radicalizar libremente en N, Z y Q debido a la existencia de unos bichos rarísimos llamados "números irracionales". Ocurre que, al tratar de obtener el valor exacto de la raíz cuadrada de 2, por ejemplo, se descubre que este número no puede ser representado de la forma p/q (es decir, no es un elemento que pertenezca a Q y, por tanto, tampoco pertenece a Z ni mucho menos a N). Espor estos bichos, los irracionales, que no puedes radicalizar en Q (y por contención, tampoco en Z ni en N), ya que el resultado que obtienes no es cerrado, es decir, de una operación con elementos de Q obtienes elementos de R.

Y una razón todavía de mayor peso: no puedes radicalizar libremente ni siquiera en todo R, ya que la radicalización no queda definida dentro de R para números negativos. Esto es porque la radicalización es la operación inversa a la exponenciación. Como sabrás, al elevar un numero a al cuadrado, obtienes siempre un numero positivo (esto es porque a^2 = a*a, en donde siempre obtendrás un resultado positivo, ya que si a es positivo, tienes que + por + = +, y si a es negativo, tienes - por - = +), entonces la inversa requiere forzosamente que el número que se radicalice sea positivo (y es que no existe ningún número en R tal que, multiplicado por el mismo, de como resultado un número negativo). Por tanto, la radicalización en R solo está definida para los positivos y el cero. R contiene a Q, por ello, si la radicalización no está dedinida para todo R, mucho menos se define satisfactoriamente para Q, Z o N.

Como breviario cultural, si se puede radicalizar numeros negativos, pero solo hasta haber comprendido a los números imaginarios y los números complejos, y eso requiere de un análisis mucho más profundo, sustentado en conocimientos de Álgebra Superior y Variable Compleja. Saludos.

Answer 2

Lo que te puedo decir que la división por cero es la unica que no existe...
En cuanto a los radicales, te informo que si se puede radicar, con la variable completa pueds determinar los valores de las raíces negativas...
Solo que cuando estudiamos la prepa nos dicen que eso no existe...
Saludos,
danfel

Answer 3

Los campos N, Z y Q, que pertenecen al conjunto R, pueden ser restados, sumados, divididos y multiplicados.
Con respecto a la radicación existe la limitación de no ser posible cuando el radical es de orden par y el número a radicar es negativos, eso está dentro del campo I (números imaginarios).