Como mostrar que uma função é Lipschitz em um intervalo I?

Question

Acho este problema interessante:

Mostre que se f:I ->R é diferenciável no intervalo I de R, então existe um sub-intervalo de I no qual f é Lipschitz.

Queria ver se alguém dá uma prova diferente da que eu pude encontrar.

Answer 1

Ola
Nao sei se vc ja viu esta prova, em todo caso, vamos la.
Como trabalhamos com os reais (R), utilizaresmo a metrica usual, ou seja, a distancia entre dois pontos , a e b, em R é dada por d(a,b)=|a-b|.
Por hipotese, f é diferenciavel em I=[a,b], logo f é continua em I.
(*)Tomando x1 e x2 em I, com x1>x2, logo f é continuo e diferenciavel nestes pontos e qualquer x pertencente ao intervalo I1= [x2,x1], estando I1 contido em I.
Calculando a distancia: d(f(x1)-f(x2))=|f(x1)-f(x2)| = |f(x1)-f(x2) / x1-x2 * (x1-x2)| (**) (isto pode ser feito pois x1-x2>0).
Dai, usando a propriedade das metricas, obtemos:
|f(x1)-f(x2)/x1-x2 * (x1-x2)| < |f(x1)-f(x2)/x1-x2| * |x1-x2| (***)
Comparando (**) e (***), temos que:
|f(x1)-f(x2)| < |f(x1)-f(x2)/x1-x2| * |x1-x2| (****)
Resta-nos provar que k= |f(x1)-f(x2)/x1-x2| é uma constante, com efeito, por (*) temos a hipotese necessaria para a utilizaçao do teorema do valor medio no intervalo I1=[x2,x1], assim, existe t0 pertencente a I1, tal que f '(t0)=f(x1)-f(x2)/x1-x2. Aplicando o modulo nesta equaçao, obtemos que k=|f'(t0)|=|f(x1)-f(x2)/x1-x2| é uma constante. Substituindo este resultado em (****), obtemos:
|f(x1)-f(x2)| < k * |x1-x2|
Portanto, f é uma funçao lipschitziana no intervalo I1.
Obrigado pela pergunta.
Espero que ajude.
Abraço

Answer 2

Use o teorema do valor médio.
como f é diferenciável para qualquer x,y em I existe c entre x e y tal que f(x)-f(y)=f'(c)(x-y).
Fazendo lambda=f'(c) temos:
|f(x)-f(y)|=lamda(x-y)
que é a definição de lipschitz.