高等工程數學想問Bernoulli(柏努利)方程式解法

Question

首先我上課的這本高等工程數學是東華書局出版，作者：peter v.o'neil著
而王順忠、黃孟康、蘇金佳 翻譯的中文版書(目前各大書局都看的到)
對於裡面所介紹的可分離微分方程式章節的習題，解的過程中的積分我不會解，龍旲大大 您說是屬於Bernoulli DE ，那麻煩您解答一下謝謝
1.cos(y)y'=sin(x+y)
2. xy'+y=y^2
3. ln(y^x)y'=3x^2
4.y'=3x^2(y+2)
這幾題本來我將題目化成可分離變數的形式後欲積分來求通解，但外面教科書微積分對於不定積分只教代換法 來化簡原式 並積分後再還原 即得解 ，而這幾題不定積分並無法用代換法化簡式子 ，所以請教大大一下
同時因也課本把這習題排在可分離微分方程式的章節 ，所以也好奇是不是
不定積分的確有別的解法 謝謝

這本書 書皮是藍色封面的，不知是不是作者將習題排錯章節了???

Answer 1

版主，我誤會了，這些都是變數可分離型 o.d.e. 的題目，只有第 2. 題也還是屬於 Bernoulli 的題目，我睏了，明天再幫您解吧。

2006-10-18 01:29:58 補充：
1. cos y y' = sin( x + y )sol：　　這題怪怪的ㄝ！令 x + y = u 也不能化為變數可分離，用正合 ( exact ) 方程式下去解也找不到積分因子，若題目沒抄錯的話，就請其他厲害的網友來解解看囉！*2. xy' + y = y2sol：　　x( dy／dx ) + y = y2 → x( dy／dx ) = y2 - y　　　　　　　　　　　　　　　　= y( y - 1 )　　→ [ 1／y( y - 1 ) ]dy = ( 1／x )dx ～ 變數可分離型 o.d.e.，等號兩邊積分即可。　　→∫[ 1／y( y - 1 ) ]dy =∫( 1／x )dx + c　　1／y( y - 1 ) = 1／( y - 1 ) - ( 1／y )　　→∫[ 1／( y - 1 ) - ( 1／y ) ]dy =∫( 1／x )dx + c1　　→ ln│y - 1│- ln│y│= ln│x│+ c1　　→ ln│( y - 1 )／y│= ln│x│+ c1　　等號兩邊同取指數 → ( y - 1 )／y = xec1　　令 ec1 = c → 1 - ( 1／y ) = cx　　→ ( 1／y ) = 1 - cx #*3. ln( yx ) y' = 3x2sol：　　ln( yx )( dy／dx ) = 3x2　　→ x ln( y )( dy／dx ) = 3x2 → ln( y )( dy／dx ) = 3x　　→ ln( y )dy = 3xdx ～ 變數可分離型 o.d.e.，等號兩邊積分即可。　　→∫ln( y )dy =∫3xdx + c　　→ y ln( y ) - y = ( 3x2／2 ) + c #*4. y' = 3x2( y + 2 )sol：　　( dy／dx ) = 3x2( y + 2 )　　→ [ 1／( y + 2 ) ]dy = 3x2dx ～ 變數可分離型 o.d.e.，等號兩邊積分即可。　　→∫[ 1／( y + 2 ) ]dy =∫3x2dx + c1　　→ ln│y + 2│= x3 + c1　　等號兩邊同取指數 → y + 2 = exp( x3 )exp( c1 )　　令 exp( c1 ) = c → y + 2 = c exp( x3 )　　→ y = c exp( x3 ) - 2 #*　　希望以上回答過程能幫助您。

Answer 2

版主，我想跟您說，第1題是 1-2第三題 吧，那題說若否，目前不必求解不是嗎