Ninguem me respondeu ainda sobre a área projetada na esfera?

Question

Um ponto luminoso a 2 de distância, projeta uma luz na esfera de 8 de diâmetro. Qual é a área iluminada na esfera...
DICA: Devo dizer que para os cálculos serão usados a fórmula da calota esférica.

Answer 1

Eu não posso fazer um desenho no Yahoo! Respostas, mas você pode fazer no papel, então me acompanhe:

Você não deu as unidades do problema, então vamos supor que suas medidas estão em metros.

1) Desenhe um círculo com 4cm de raio e nomeie o centro com a letra C.

2) Trace uma vertical passando pelo centro, prolongando-a para cima do círculo.

3) Nesta vertical, marque um ponto 2 cm acima do círculo e o nomeie como P.

4) Agora esqueça as medidas de construção porque elas não têm nada a ver.

5) A partir do ponto P trace uma tangente ao círculo e nomeie o
.....ponto de tangência de T (fiz isso para o lado direito do papel).

6) Trace uma perpendicular à linha PC, passando pelo ponto T.

7) Assinale com a letra A o ponto onde esta perpendicular
....encontrar o linha PC

8) Identifique os triângulos PTC e TAP.

9) Desenhe-os à parte (separados) na mesma posição em que
....se encontram no desenho original – como se você estivesse
.....transladando-os.

...............Agora vamos à resolução:

a) Veja que PTC é retângulo em T ( T é ângulo reto –
.....propriedade das tangentes).
......Veja ainda que: o lado TC = 4m, CP= 6m e calculando PT
......por Pitágoras acha-se PT = V20m ( considere V20 como
......sendo raiz quadrada de 20).

b) veja que TAP é retângulo em A (por construção) e é
......semelhante a PTC (ambos retângulos e o ângulo P de TAP
......é igual ao ângulo P de PTC).
......Sendo h = altura da calota, veja que o lado AP = h + 2

c) Comparando os triângulos PTC e TAP, temos:

.......V20 / 6 = h+2 / V20

......daí vem que h = 4/3m

d) Área da calota = Sc = 2 pi R h

......No nosso caso: R = 4m e h = 4/3m

......Sc = 2 x pi x 4 x 4/3

.....Sc = 32 pi / 3

.....ou ainda Sc = 33,51m²

Abração

Answer 2

100,53 é a resposta.... só faltou vc dizer se são mms cms mts....

Answer 3

Victor, bom dia.
Ótima pergunta.
Vai dar para divertir um bocado.
Infelizmente nã sei como desenhar aqui nesta tela, porisso terei que lhe pedir o favor de você ir desenhando aí na sua casa para acompanhar o meu raciocínio.
1) Desenhe uma circunferência de raio igual a 4. Como você não deu a unidade, escolha a que você quiser. No centro dessa circunferência ponha a letra "O".
2) Passando por O, desenhe uma reta vertical. Dê a esse eixo o nome de "E". É o eixo em torno do qual vão girar 360 graus todos os elementos do desenho, para gerar os sólidos envolvidos na questão: a circunferência vai gerar a esfera; o arco AB vai gerar a calota iluminada; o triângulo AA´(PL) vai gerar o cone de luz.
À interseção desse eixo com a parte de cima da circunferência, dê o nome de "B".
3) No eixo E, a 2 unidades acima de B, marque um ponto e dê a ele o nome de "PL" (Ponto de luz).
4) Trace, do pono (PL) as 2 tangentes à circunferência, tangentes estas que estão, logicamente, contidas no plano da sua figura. Nos pontos de tangência com a circunferência coloque as letras "A" (do lado esquerdo do deseenho) e "A´" (do lado direito). Você definiu, então, o arco AB e o arco BA´. Definiu também, no plano do papel, quais os raios de luz que vão tocar na esfera: são todos aqueles entre essas tangentes. Todos os que estiverem fora passarão ao largo da esfera.
5) Ligue por um segmento os pontos A e A´. Este segmento é perpendicular ao eixo E. Ao encontro desse segmento com o eixo "E" dê o nome de "C". O segmento CB, assim obtido, é a projeção, no eixo "E", da corda AB. Dê a ele o nome de "m". Este "m" vai se um dos elementos da fórmula para calcular a área da calota.
6) Ligue, também, por um segmento, o ponto A ao ponto B. Este segmento é a corda correspondente ao arco AB.
7) Ligue o ponto "A" ao ponto "O". É o raio da circunferência relativo ao ponto "A"
Agora chegou a hora dos giros:
Girando toda a figura 360 graus, o que acontece?
a) A circunferência de centro "O" gera (do verbo gerar) a esfera.
b) O triângulo (PL)AA´ gera um cone de vértice em (PL) e base cujo diâmetro é AA´. A circunferência da base desse cone é a circunferência máxima da calota iluminada. Este é o cone de luz. Todos os raios que estão contidos no cone atingem a esfera, todos os que estão fora do cone não atingem a esfera.
c) O arco AB gera uma calota de centro em B, que é a calota iluminada pelo ponto de luz.
A área dessa calota, então, é o que queremos.
Sabemos pela geometria que essa área é calculada pela fórmula: área da calota = 2 x pi x R m , onde "R" é o raio da esfera (4 unidades) e "m" , como já dito acima, é a projeção, no eixo "E", da corda AB. No desenho é o segmento BC.
No triângulo (PL) AO tracemos a altura correspondente à hipotenusa. Este triângulo é retângulo em "A", porque o ãngulo "A" é formado pela tangente a este ponto e o segmento AO. E como sabemos, a tangente a um ponto em uma circunferência ou esfera, é perpendicular ao raio correspondente a este ponto.No desenho já está traçada. É a metade do segmento AA´, taçado no passo nº 4 acima. Sabemos também, pela geometria, que a altura correspondente à hipotenusa divide o triângulo em 2 triângulos semelhantes entre si e também semelhantes ao original. Então, pela propriedade das proporcionalidades entre os elementos de triângulos semelhantes, podemos escrever, relativamente aos triângulos AO(PL) e AOC:
O(PL)/AO = AO/OC.Substituindo as letras pelos seus dados, vem: 6/4 = 4/OC. Então, OC = 2,666666.
Por outro ldo, pelo desenho vemos que OC + CB + 2 = 6. Substituindo OC pelo valor calculado e resolvendo, vem: CB =1,333334.
Viva! já podemos calcular a área da esfera iluminada
Área = 2 x 3,1416 x 4 x 1,333334 = 33,510416
poderíamos resolver a qüestão usando outros métodos, inclusive o de integração. Mas este ja deu pro gasto, não?
Saudações do Tigrão.

Answer 4

Considere R o raio da esfera, h a altura da da calota esférica, A a área da calota esférica e S a área da superfície esférica. Então:
A/S = 2piRh/4piR.R = h/2R

Considere agora o triângulo formado pelo ponto T de tangência do raio luminoso na esfera, P o ponto luminoso e O o centro da esfera e aínda:
R-h a distância do centro da esfera até a interseção do segmento PO com a altura do triângulo PTO em relação ao lado PO;
R+H a distância do ponto luminoso até a altura do triângulo PTO em relação ao lado PO.
então temos:
R.R = (R-h).(2+R)
4.4=(4-h).(2+4)
16=(4-h).6
8/3=4-h
h=4/3
então
A/S = h/2R
A/S = (4/3)/2.4 = 1/6
A= 1/6 . S
A = 1/6 . 4pi R.R
A = 1/6 . 4Pi 4.4
A = 32pi/3
Logo a área iluminada será de 32pi/3 metros quadrados

Answer 5

A luz se projeta sobre a esfera em todas a direções, e um dos raios de luz tangencia a esfera. Pelo que entendi, o ponto luminoso esta a l = 2 + 8/2= 6m do centro da esfera. Fica assim definida uma calota esférica cuja base é um círculo meridiano da esfera cujo centro está a uma distância d do centro da esfera. Sem fazer uma figura fica muito difícil de explicar, mas por semelhança de triângulos concluímos que d =R^2/l, sendo R = 4 o raio da esfera. Assim, d = 16/6 = 8/3.

A área iluminada é a área da calota esférica mencionada, dada por S = 2 pi R h, sendo h = R - d = 4 -8/3 = 4/3 a altura da calota. Assim S = 2 pi * 4 * 4/3 = 32 pi/3 m2

Se não cometi nenhum engano

Answer 6

visite o site
http://pessoal.sercomtel.com.br/matematica/geometria/esfera/esfera.htm

Answer 7

Bem que eu queria ajudar...mas no dia que minha professora deu essa matéria eu matei aula!!!!

Answer 8

Aqui nao é lugar de fazer tarefa de casa