was ist das besondere an Kurvenscharen?

Question

Was ist das besondere an Kurvenscharen, was verändert sich an der Kurve und was sind die gemeinsamen punkte, bzw. wie errechne ich diese?

Answer 1

Es gibt verschiedene Klassen von (Basis)Funktionen wie z. Bsp. die Grundgleichung einer Geraden

y = mx + b

oder eine Polynomialgleichung 2. Grades

y = ax² + bx + c

Eine Kurvenschar bezogen auf jeweils eine dieser beiden Grundfunktionen umfasst alle Möglichen Kurven bezogen auf die Variation der Parameter m und b für die Geradengleichung oder a, b und c für die zweite Gleichung. Da a, b, c und m reelle Zahlen sind, ist die Menge der Kurven (Kurvenschar) unendlich. Die Parameter der Gleichung bestimmen dann den Funktionsverlauf der Kurven. Die Parameter ergeben sich entsprechend aus Randbedingungen und diese Randbedingungen bestimmen dann aus der unendlichen Anzahl der Kurven (Kurvenschar) genau eine eindeutig definierte Kurve (Funktion)

Ein Beispiel:

Gesucht ist die Gerade, die unter einem Winkel von 45° durch
den Punkt (x|y) = (2|3) läuft.

y = mx + b

m ist die Steigung der Geraden tan(α)

tan(α) = tan(45°) = 1

y = x + b

Es bleibt noch b zu bestimmen was mit der zweiten Bedingung
recht einfach ist:

y(x=3) = 2 => 2 = 1*3 + b => b = -1

Somit ist aus der unendlichen Kurvenschar (y=mx+b) genau
die eine Gleichung bestimmt, die die Bedingungen erfüllt.

y = x - 1

Answer 2

Eine Kurvenschar ist, wie der Name schon sagt, eine Menge (Schar) von Kurven. Sie unterscheiden sich in einer oder mehreren Konstanten, für die ein bestimmtes Intervall angegeben ist.
Ein einfaches Beispiel: Parabel f(x) = a * x^2, mit a = [-2, -1, 1, 2]
Dabei bestimmt die Konstante "a" die Form und Orientierung der Parabel: für a < 0 ist die Parabel nach unten geöffnet, für a > 0 nach oben geöffnet. Je größer (der Betrag von...) a ist, desto schmaler ist die Parabel. Gemeinsamer Punkt ist hier der Extremwert der Kurvenschar, der für alle a bei (0; 0) liegt.
Generell kann es aber auch mehrere Konstanten in einer Gleichung geben, die innerhalb eines Intervalls variiert werden, z.B. in der quadratische Gleichung f(x) = a * x^2 + b * x + c. Sollen für diese Kurvenschar bestimmte Dinge (wie z.B. die Nullstellen) berechnet werden, kann man die Konstanten a, b und c wie ganz normale Zahlen behandeln. Das Ergebnis der Nullstellenberechnung ist die Mitternachtsformel. Daraus folgt nun auch der Grund bzw. der Vorteil von Kurvenschar-Berechnungen. Hat man (z.B. als besonders stupide Hausaufgabe...) eine große Anzahl von Gleichungen zu lösen, die sich alle sehr ähneln, so dass man sie in Form einer Kurvenschar schreiben kann, muss diese Schar-Gleichung nur einmal gelöst werden, der Rest folgt dann (fast von alleine) durch Einsetzen der Konstanten in die Lösung.

Answer 3

In Kurvenscharen hat man neben der Variablen x noch eine oderer mehrere weitere Variablen. Je nachdem, wie diese anderen Variablen gewählt werden, sieht dann die Kurvenschar auch etwas anders aus. Wie genau ist dabei nicht immer gleich, kommt darauf an, wieviele Hoch- und Tiefpunkte die Kurve hat.
Hat die Kurve nur einen Hoch- und Tiefpunkt, dann müsste der Wendepunkt immer der gleiche sein, sobald sie mehr hat, kann man das nicht mehr sagen.
Mit dem Ausrechnen ist das jedoch komplizierter, ich glaub nicht, dass man das hier so einfach erklären kann.
Auf jeden Fall musst du die Gleichung für den gewünschten Punkt zuerst nach der Scharvariablen umstellen und danach nochmal irgendwie weiterrechnen. Ist bei mir schon ne Weile her, frag am besten deinen Lehrer nochmal (falls das hier keine Hausaufgabe ist ...)

Answer 4

ich bin nicht ganz sicher was du meinst, aber wenn es um Integralkurve geht, sind die so zu sagen parallel und hat keine gemeinsamen Punkte

Beispiel:
f(x)= g(x) +c c ist eine abiträre konstante