Questão da IMO/59.Qual a resposta?

Question

Prove que a fração 21n+4
14n+3
é irredutível para todo n pentencente aos naturais.Boa sorte!

Answer 1

Não fale do que não sabe dassarf. Uma fração pode ser redutível e ser igual a número não inteiro, como 4/8 (reduzida para 1/2). O problema equivale a provar que MDC(14n+3, 21n+4) = 1 para n natural.

Tenho que pensar nisso melhor...

Answer 2

O dessarf está incorreto, de fato, como a resposta acima!!
Mas eis a resposta:

(21n+4)/(14n+3) Em fatores primos, tem-se:

(7.3.n+ 2.2)/(7.2.n+3)

Provar que (7.3.n+ 2.2)/(7.2.n+3) = a/b, irredutível
Por Absurdo [Forçar que (7.3.n+ 2.2)/(7.2.n+3) seja redutível] :

(7.3.n+ 2.2)/(7.2.n+3) = Ka/Kb, K pertencente a N*

Então
(7.3.n+ 2.2) = K.a
(7.3.n+ 2.2) = K.a ==> n=2P, P pertencente a N*
n=2P ==> K = 2 ou
K = 4

(7.2.n+3) = K.b
(7.2.n+3) = K.b ==> n=3P, P pertencente a N*
n=3P ==> K = 3

Ou seja 2 = 3 ou 4 = 3 ABSURDO!!

Ou pderíamos dizer assim...

Se (7.3.n+ 2.2)/(7.2.n+3) = Ka/Kb, K pertencente a N*
(ou seja, se (7.3.n+ 2.2)/(7.2.n+3) for redutível)

Nas melhores das hipóteses, teríamos que:

(7.3.n+ 2.2)/(7.2.n+3) = 2a/3b ou
(7.3.n+ 2.2)/(7.2.n+3) = 4a/3b

Como 2 e 3 são primos entre si, assim como 4 e 3, não há como a fração ser redutível.

Logo ela é, necessariamente, irredutível para qualquer valor de n, com n pertencente a N.

É isso!!

Answer 3

o enunciado da questao q vc colocou tah mt ruim, ponha um enunciado mais especifico para q eu possa tentar responder

Answer 4

nao sei como te ajudar