Axioma da Escolha, válido ou não?

Question

1) Vc acha que demonstrações baseadas no Axioma da Escolha são válidas ou devem ser vistas com reservas? O fato é que sem o A. da Escolha não podemos demonstrar diversos teoremas em espaços topológicos e em espaços métricos gerais. Por exemplo, sem ele não podemos demonstrar que um esp. métrico geral é compacto sse for completo e totalmente limitado.

Answer 1

Acredito que seja válido sim, as demonstrações são possíveis, apesar dessa controvérsia toda, principalmente pela existencia do paradoxo de Banach–Tarski. Mesmo assim, acho que sem o Axioma da Escolha deixamos de poder realizar diversas operações e comprovar teoremas, inclusive essa situação citada por você. Pois é, acho difícil chegar a um consenso...

Answer 2

Axioma da escolha


Se você tem uma família de conjuntos não-vazios S, então há uma forma de escolher um elemento x de cada conjunto S nessa família.

Isso soa plausível, não? Apenas pense em um número finito de conjuntos não-vazios S1,...Sn: Pegue x1 de S1, e então prossiga para S2, e finalmente pegue xn de Sn. O que o axioma da escolha tem a ver com o paradoxo de Banach-Tarski?
Como se revela, muita coisa: Se o axioma da escolha é verdadeiro, então o paradoxo de Banach-Tarski pode ser derivado dele e, em particular, deve haver corpos tridimensionais sem volume.
Assim, a resposta à questão de se o paradoxo de Banach-Tarski é verdadeiro depende se o axioma da escolha é verdadeiro.

Certamente, o axioma da escolha funciona para um número finito de conjuntos não-vazios S1,...,Sn. Agora pense em uma seqüência infinita S1, S2,... de conjuntos não-vazios. Novamente, pegue x1 de S1, então x2 de S2, e apenas continue. Você nunca chegará a um fim, mas eventualmente produzirá um elemento xn de cada Sn.
Assim, o axioma da escolha é verdade neste caso também. Mas e se tivermos uma família verdadeiramente arbitrária de conjuntos?
E se tivéssemos de lidar com a família de todos subconjuntos não-vazios da linha real?
Pode ser mostrado que esta família de conjuntos não pode ser escrita como uma seqüência de conjuntos.
Como escolhemos um número real de cada conjunto? Não há um algoritmo que nos permita pegar um elemento de um conjunto, um segundo elemento de outro conjunto e, eventualmente, de pegar um elemento de cada conjunto na família.
Mesmo assim, o axioma da escolha ainda parece plausível - cada conjunto S em nossa família é não-vazio e portanto contém algum elemento x - por que não deveria existir um jeito de escolher um elemento particular de cada tal conjunto?

Por outro lado, aceitar o axioma da escolha implica em fenômenos estranhos como o paradoxo de Banach-Tarski. Se o axioma da escolha é verdade, então devemos aceitar a misteriosa duplicação de laranjas.
Se é falso, então por quê? Por favor, não tente provar ou refutar o axioma da escolha - você não conseguirá fazer qualquer uma das coisas.
O axioma da escolha está além de prova ou refutação. Nós podemos supor que é verdadeiro, ou podemos supor que é falso. Em outras palavras, nós precisamos acreditar nele ou deixá-lo de lado.
A maioria dos matemáticos hoje em dia acreditam no axioma da escolha por uma simples razão - com o axioma de escolha, eles podem provar teoremas úteis, a maioria dos quais é muito menos surpreendente que o paradoxo de Banach-Tarski.

Answer 3

hã?
claro, claro!
sem duvidas nenhuma

fui!

Answer 4

Eu acho que devem ser válidos sim apesar de muitos matemáticos o constestarem . É porque esse axioma apresenta algumas consequências estranhas como por exemplo o paradoxo de Banach-Tarski.