Como explicar o paradoxo de Tarski - Banach?

Question

Em linguagem informal, este paradoxo diz que é possível dividir uma bola de bilhar em um número finito de partes e juntá-las de modo a formar uma bola com volume maior do que o da Terra. Eu não conheço profundamente este assunto, mas me parece que tem a ver com conjuntos de R^n que não são Lebesgue mensuráveis. Sabemos que, considerando conjuntos não mensuráveis, podemos particionar um conjunto de R^n de modo a que sua medida exterior seja menor do que a soma das medidas exteriores de suas partes. Mas creio que para isso precisamos do Axioma da Escolha. Assim, para dividirmos um pão em pedaços de modo que estes pedaços pudessem alimentar uma multidão, precisaríamos dividi-lo em partes não mensuráveis (só mesmo Cristo). Estou raciocinando certo?

Answer 1

Quase lá.

Considere {a_n = sen(n)^n} e lim superior a_n =1
{sen(n)} eh densa em [-1, 1]
desta forma, todo real r com |r|<1 eh limite de alguma subsequencia {b_n_i}
de {sen)n)}. Logo {b_n_i^n_i} tem limite 0, do que concluimos que {a_n} tem
uma subsequencia que converge para 0 e que, portanto lim inf a_n <=0<1 = lim
sup a_n. Logo {a_n} eh divergente, certo?

Acho que esse raciocínio é mais lógico.

Answer 2

E ele, ao desembarcar, viu uma grande multidão; e, compadecendo-se dela, curou os seus enfermos. Chegada a tarde, aproximaram-se dele os discípulos, dizendo: O lugar é deserto, e a hora é já passada; despede as multidões, para que vão às aldeias, e comprem o que comer. Jesus, porém, lhes disse: Não precisam ir embora; dai-lhes vós de comer. Então eles lhe disseram: Não temos aqui senão cinco pães e dois peixes. E ele disse: trazei-mos aqui. Tendo mandado às multidões que se reclinassem sobre a relva, tomou os cinco pães e os dois peixes e, erguendo os olhos ao céu, os abençoou; e partindo os pães, deu-os aos discípulos, e os discípulos às multidões. Todos comeram e se fartaram; e dos pedaços que sobejaram levantaram doze cestos cheios. Ora, os que comeram foram cerca de cinco mil homens, além de mulheres e crianças. - Mateus 14:14-21

Nos anos vinte dois matemáticos poloneses - Stephan Banach e Alfred Tarski - provaram um teorema matemático que soa muito como a alimentação de cinco mil. Em sua honra, ele é chamado paradoxo de Banach-Tarski*. As conseqüências do paradoxo de Banach-Tarski são, por exemplo:

Uma laranja pode ser cortada em um número finito de pedaços, e esses pedaços podem então ser juntados novamente para formar duas laranjas, cada uma tendo o mesmo tamanho da que foi cortada em pedaços.

Outra conseqüência, ainda mais bizarra, é:
Uma ervilha pode ser cortada em um número finito de pedaços, e esses pedaços podem então ser reagrupados para formar uma bola sólida com um diâmetro maior do que a distância da Terra ao Sol.

Mais geralmente, sempre que você tiver um corpo tridimensional (com algumas restrições), você pode obter qualquer outro corpo ao quebrar o primeiro em pedaços e reagrupar as partes. Transformar cinco pães e dois peixes em comida suficiente para alimentar uma multidão de mais de cinco mil pessoas parece então um exercício simples.

Se você leu até aqui, sua atitude presumivelmente é uma das duas:
•Sua crença na verdade absoluta dos teoremas matemáticos é tão forte que faz com que engula o paradoxo de Banach-Tarski.
•Você é um cético tão vigoroso, e assim nem toma a alimentação dos cinco mil nem o paradoxo de Banach-Tarski de forma literal.
Se você cai na primeira categoria, provavelmente há pouco incentivo para que continue lendo este artigo. Do contrário, acho que sua atitude é melhor descrita da seguinte forma: Você pode acreditar na estória da alimentação dos cinco mil mas não tomá-la literalmente, e se você ouve falar de um teorema matemático cujas conseqüências são obviamente absurdas, você tende a achar que o teorema está errado.

Pegue uma laranja e uma faca afiada. Corte a laranja em pedaços e tente formar com os pedaços dois globos com aproximadamente o mesmo tamanho. Se os pedaços forem suficientemente pequenos, cada um desses globos será razoavelmente parecido com uma bola, mas é claro, cada uma com um volume que é mais ou menos a metade da laranja original. Talvez você não tenha cortado a laranja do jeito certo. Você pode tentar sua sorte com centenas de laranjas: acabará produzindo toneladas de bagaço, mas nenhuma corroboração do paradoxo de Banach-Tarski. Isso não parece mostrar que o paradoxo Banach-Tarski está errado?

O paradoxo de Banach-Tarski é um teorema que chamamos de teorema de existência: há uma forma de dividir uma ervilha de forma que os pedaços possam ser reagrupados em, digamos, uma estátua em tamanho natural de Stefan Banach. O fato de você não conseguir encontrar tal forma não significa que ela não existe - você pode simplesmente não tê-la encontrado ainda. Deixe-me clarificar com um exemplo de aritmética elementar. Um inteiro positivo p é chamado primo se 1 e p são seus únicos divisores; por exemplo, 2, 3 e 23 são primos, enquanto 4 = 2.2 e 243 = 3.81 não são. Os gregos antigos sabiam que todos inteiros positivos têm uma fatorização em primos: se n é um inteiro positivo, então há números primos p1,.....,pk de forma que n = p1....pk. Para um n pequeno, tal fatorização em primos é fácil de encontrar: 6 = 2.3, 243 = 2.3.3.3.3 e 6785 = 5.23.59, por exemplo. Há essencialmente apenas um jeito de encontrar uma fatorização em primos - tentando. Achar a fatorização de 6785 - armado apenas com lápis e papel - deve ter tomado certo tempo. Agora pense em um número grande, digo, realmente grande:

7380563434803675764348389657688547618099805.

Esse é um número positivo sem nenhum problema, e o teorema diz a você que ele tem uma fatorização em primos, mas - por favor! - não gaste horas, dias ou mesmo anos de sua vida tentando achá-la. Você deve pensar: para que os computadores foram inventados? É fácil escrever um pequeno programa que produz a fatorização em primos de um inteiro positivo arbitrário (e ele pode mesmo produzir uma de 7380563434803675764348389657688547618099805 em um período de tempo razoável). Contudo, o tempo médio que tal programa levaria para achar a fatorização de um inteiro n aumenta dramaticamente à medida que n fica maior: para um n suficientemente grande, o tempo que até o mais rápido supercomputador disponível hoje levaria - em média - para achar a fatorização em primos de n seria maior que a idade do universo.

Assim, embora a fatorização em primos de um inteiro positivo sempre exista, ela pode ser impossivelmente difícil de encontrar. De fato, isto é algo bom - é o coração dos códigos de chaves públicas que tornam as transações de cartão de crédito na internet seguras, por exemplo. Agora, pense de novo no paradoxo de Banach-Tarski. Apenas porque você não pôde fazê-lo funcionar na sua cozinha (assim como você não pôde encontrar a fatorização de um certo inteiro muito grande) isso não significa que o teorema é falso (ou que esse inteiro particular não tenha uma fatorização em primos).


* O teorema é provado no artigo: S. Banach and A. Tarski, Sur la décomposition des ensembles de points en parts respectivement congruents. Fund. Math. 6 (1924), 244-277.
- - -