工程數學問題求解

Question

1. -πsinπx sinh ydx+ cosπx cosh ydy= 0
2. (e^y-ye^x)dx+ (xe^y-e^x)dy= 0
3. e^-2θdr - 2re^-2θdθ= 0
4. (cosωx+ ω sinωx )dx+ e^x dy= 0 ,y(0)=1
5. (cosxy + x/y )dx+ (1+(x/y)cosxy)dy = 0
6. ( x^4+y^2)dx -x/y dy = 0 y(2)=1

請大大ㄇ幫助我解題謝謝

Answer 1

1. - π sin πx sinh y dx + cos πx cosh y dy = 0sol：　　由題目移項得：cos πx cosh y dy = π sin πx sinh y dx　　→ ( cosh y／sinh y )dy = π ( sin πx／cos πx )dx　　→∫coth y dy = π∫tan πx dx + c1　　→ ln│sinh y│= - ln│cos πx│+ c1　　等號兩邊同取指數 → sinh y = ( ec1／cos πx )　　令 ec1 = c　　→ ( sinh y )( cos πx ) = c #* 2. ( ey - yex )dx + ( xey - ex )dy = 0sol：　　令 M( x , y ) = ey - yex　　　 N( x , y ) = xey - ex　　( ∂M／∂y ) = ( ∂N／∂x ) = ey - ex　　→ 正合，必有一解，其型式為：F( x , y ) = C　　F =∫Mdx + c(y) =∫( ey - yex )dx + c(y)　　   = xey - yex + c(y)　　( ∂F／∂y ) = N → xey - ex + c'(y) = xey - ex　　→ c'(y) = 0 → c(y) = 0　　→ xey - ex = C # *3. e - 2θdr - 2re - 2θdθ = 0sol：　　由題目移項得：e - 2θdr = 2re - 2θdθ　　→∫( 1／r )dr =∫2dθ + c1　　→ ln│r│= 2θ + c1　　等號兩邊同取指數 → r = e2θec1　　令 ec1 = c　　→ r = ce2θ # *4. ( cos ωx + ω sin ωx )dx + exdy = 0 , y(0) = 1sol：　　原是移項得：exdy = - ( cos ωx + ω sin ωx )dx　　→∫dy = -∫e - x( cos ωx + ω sin ωx )dx + c　　→ y = [ e - x／( 1 + ω2 ) ]( cos ωx + 2ω sin ωx + ω2cos ωx ) + c　　y(0) = 1 → x = 0 , y = 1　　→ 1 = [ 1／( 1 + ω2 ) ]( 1 + 0 + ω2 ) + c　　→ c = 0　　→ y = [ e - x／( 1 + ω2 ) ]( cos ωx + 2ω sin ωx + ω2cos ωx ) # *5. [ cos xy + ( x／y ) ]dx + [ 1 + ( x／y )cos xy ]dy = 0sol：　　這題我算不出來 >_<* 6. ( x4 + y2 )dx - xydy = 0 , y(2) = 1sol：　　原題目同除 x2 → [ x2 + ( y／x )2 ]dx - ( y／x )dy = 0　　→ ( y／x )( dy／dx ) = x2 + ( y／x )2　　→ 令 ( y／x ) = u → y = xu　　　　　　　　　 → ( dy／dx ) = u + x( du／dx )　　→ u [ u + x( du／dx ) ] = x2 + u2　　→ x( du／dx ) = ( x2／u )　　→∫udu =∫xdx + c1　　→ ( u2／2 ) = ( x2／2 ) + c1　　→ u2 = x2 + 2c1　　令 2c1 = c　　→ ( y／x )2 = x2 + c　　y(2) = 1 → x = 2 , y = 1　　→ ( 1／4 ) = 4 + c 　　→ c = ( - 15／4 ) 　　→ ( y／x )2 = x2 - ( 15／4 ) #*　　希望以上回答內容能幫助您。

Answer 2

5. (cosxy + x/y )dx + [1 +(x/y)cosxy]dy = 0
sol:
等號兩邊同乘y

(ycosxy + x)dx + (y + xcosxy)dy=0

cosxy(ydx + xdy) + xdx + ydy=0

cosxyd(xy) + xdx + ydy=0

sinxy + 1/2x^2 + 1/2y^2=1/2C

2sinxy + x^2 + y^2=C