FATORIAL! Alguém sabe explicar pq fatorial de 0 é 1?

Question

Todo mundo sabe a fórmula para calculo do fatorial; Ex:
5! = 5x4x3x2x1= 120;
4! = 4x3x2x1=24;
3! = 3x2x1=6;
2! = 2x1=2;
1! = 1x1=1;
e 0! = 1!!!!!! alguem sabe explicar?????
Eis que surge o DESAFIO!

Answer 1

Meu professor de matemática falava que 0! = 1 porque Deus queria assim, mas não é bem verdade. Mas também não é verdade que 0! = 1 por definição. O conceito de fatorial vem da chamada Função Gama, muito conhecida na área de Probabilidade e Estatística. Ela é definida como

Gama (a) = int_0^inf [x^(a - 1) exp(-x) dx] ,

em que a é um número real positivo e int_0^inf equivale a "integral de 0 até o infinito". O FATORIAL de um número inteiro n maior ou igual a zero é definido como

n! = Gama (n + 1) , n = 0,1,2,...

É por isso que 0! = 1, porque:

0! = Gama (0 + 1) = Gama (1) = int_0^inf [x^(1 - 1) exp(-x) dx] =

= int_0^inf [exp(-x) dx] = 1

A fórmula do cálculo do fatorial

n! = n . (n - 1) ... 2 . 1

vem justamente do cálculo da integral que define a Função Gama, que é denominado integração por partes. Como não é dado mais Cálculo no Ensino Médio, fica-se a falsa impressão de que 0!=1 por definição. Além disso, o que me impediria de calcular (-1)! a partir da demonstração dada no colegial?

A partir de Função Gama, observa-se que

(-1)! = Gama (0) = int_0^inf [exp(-x)/x dx]

A integral acima diverge para o infinito (não possui um valor real). Logo, apenas se define fatorial para valores naturais (0, 1, 2,...).

Answer 2

Antes de responder, lí as respostas já formuladas.
Aqui vaí a que encontrei no livro de Matemática 2 - Manoel de Paiva:

" Para que não tenhamos exceções nas aplicações de fórmulas que vamos estudar é conveniente definirmos 1! e 0!.
Vimos que a propriedade:

n! = n( n - 1 )!
é válida para todo "n",n pertence a N e n é maior ou igual a 3. E se fizermos n=2?. Vejamos o que acontece:

2! =2(2 -1)! --> 2! = 2 . 1! --> então 2 . 1 = 2 . 1! logo 1 = 1!

Assim sendo, para que a propriedade fundamental valha também para n = 2, definimos: 1! = 1.

Vamos ousar um pouco mais e atribuir o valor 1 para a variável "n" na igualdade:
n! = n(n - 1)!:

1! = 1 (1 - 1)! ---> 1! = 1 . 0! ---> 1! = 0!

Assim sendo, para entendermos a propriedade fundamental para n = 1, definimos : 0! = 1

Com essas duas definições, 1! = 1 e 0! =1, temos que:

n! = n(n -1)!, para qualquer n, n pertence aos núeros naturais N, sem o zero."

Answer 3

n!/n = (n-1)!

logo, fazendo n=1 tem-se

1!/1 = (1-1)!

isto é 1 = 0!

Answer 4

A verdadeira explicação do fatorial de zero ser um envolve matemática superior e o conceito de produto vazio. Entretanto, achei uma explicação didática, dada por Cláudio Andrade, e creio que vá te ajudar a entender:

Vamos supor que temos um conjunto A com n elementos. O nº de grupos que podemos formar p a p com os n elementos desse conjunto é dado por Cn,p = n! / [p!*(n–p)!] .
E sabemos Cn,p = Cn,(n–p)

Se quisermos formar um grupo com todos os n elementos de A, poderemos formar apenas um grupo, que é o próprio conj. A. Portanto, Cn,n = 1.

E se quisermos formar grupos com nenhum elemento n de A, também poderemos formar um único grupo, que é o conjunto vazio (que está contido em todos os conjuntos). Portanto Cn,0=1.

Assim, nos casos em que n=p, temos que Cn,n = Cn,0 = n! / (n!*0!) = 1 , e por coerência 0! deve ser 1.

Answer 5

É uma definição coerente, uma conversão para facilitar nossos calculos. veja:
-Primeiro: Ah uma definição na matematica que diz que o produto vazio é 1. Da mesma forma é facil acreditar que a soma vazia é zero. Se eu somar os elementos de um conjunto vaziu vou encontrar um zero como resultado. Da mesma forma se eu multiplicar os elementos de um conjunto vazio vou encontrar o numero 1 como resultado. Na soma é mais facil de acreditar que dê zero. Ja na multiplicação precisamos que nos prove que o resultado seja 1. vamo lá.
-Segundo: 2² /2² = 2²-² = 1 ==> equivale dizer que dois elevado a dois dividido por ele mesmo vai dá 1 como sempre n/n = 1. E a mesma coisa é verdade para dois elevado a zero que é o mesmo que dois elevado a dois menos dois 2²-². Assim tambem vale para o misterioso 0! ou produto vazio ou qualquer numero elevado a zero. Claro que o resultado é um.

Answer 6

definição

Answer 7

por definição

Answer 8

Estou chegando matematicamento

Answer 9

0!=1 por definição
1!=1

Answer 10

eu to estudando isso ae tmb
a professora explico, mas agora eu num lembro as palavras q ela usou
mas td numero elevado a 0 é1
no fatorial sempre vai sobrar 1