Verifique se a série coverge ou diverge: ∑, n=1 até o infinito, (n+1)^n / (n+3)^n , JUSTIFIQUE.?

Question

O símbolo "∑" significa o somatório, neste caso de n=1 ao infinito.
O símbolo "^" significa elevar ao expoente, neste caso ao expoente n.
Uma forma melhor de ver o termo desta série é a seguinte:
```````n
(n+1)
______
```````n
(n+3)

Gostaria de saber que Teorema justifica a convergência ou divergência da série.

Answer 1

O termo geral da sucessão (((n+1)^n)/((n+3)^n)) NÃO tende a zero, logo a serie diverge. Para uma série convergir é necessário, mas não suficiente, que o termo geral da sucessão das 'parcelas' tenda a zero. O limite do termo geral da sucessão que você propõe é, para n -> +oo:

lim (((n+1)^n)/((n+3)^n)) =
= lim (((n+1)/(n+3))^n) =
= lim {[1+(-2/(n+3))]^n} =
= lim |{[1+(-2/(n+3))]^(n+3)}^(n/(n+3))| =
... note que aqui há uma expressão do tipo lim {[1+t/m]^m} com m=n+3 tendendo a infinito, sabe-se que este limite é lim{[1+t/m]^m} = exp(t) = e^t, logo...

= lim |exp(-2)^(n/(n+3))| = exp(-2)^1 ~ 0,1353

pois n/(n+3) tende a 1. Portanto a série DIVERGE.

Answer 2

extrai o n

n^1/n((1+1/n)^n)/n^1/n((1 +3/n)^n), simpificando os termos "n^1/n" temos:

((1+1/n)^n/((1+3/n)^n) aplicando o lim n-> 00 temos: 1
a serie converge para 1....

Answer 3

Soma{ (n+ 1)^n/(n+ 3)^n; n=1..N } =
= Soma{ [(n+ 1)/(n+ 3)]^n; n=1..N }
= Soma{ [(n+ 1)/(n+ 1+ 2)]^n; n=1..N }
= Soma{ 1/[1+ 2/(n+ 1)]^n; n=1..N }
= 1/exp(2)+ 1/exp(2)+ (infinitas somas de 1/exp(2))+ ...+ 3/5+ 1/2
= +infinito.

A série diverge porque o infinitésimo termo será 1/exp(2), que não é zero.

Answer 4

Desculpe!! faz muito tempo q aprendi isso..... sem apratica acabei me esquecendo :(