Desafio de matemática, por enquanto não vi ninguém bom?

Question

Achar os valores reais de "a" e "b" nas equações abaixo:

x^3 + ax^2 + 18 = 0
x^3 + bx + 12 = 0

que têm raízes comuns e determinar quais são estas raízes.

Desculpe Werbster se ofendi seus sentimentos. O objetivo não é dizer que sou bom, aliás nem de longe.

O objetivo ao dizer que não vi ninguém bom é só para tornar o desafio mais instigante.

Propronho que você como estudante de arquitetura tente o desafio.

GENTE DEVE-SE ACHAR OS VALORES DE "a" e "b", não indicar os valores de "x" em função de "a" e "b".

As respostas são bem complexas do que as apresentadas.

Realmente por matriz, dá para resolver sim.

Answer 1

[1] x^3+ax^2+18 = 0
[2] x^3+bx+12 = 0

Suponha a=0 (veremos que isto resolve uma parte do problema)

A primeira equação fica x^3+18 = 0, cuja única solução real é x=(-18)^(1/3).

Subtraindo a segunda equação da primeira tem-se

[3] ax^2-bx+6=0

substituindo os valores a=0 e x=(-18)^(1/3) nesta equação [3], encontramos

bx=6, isto é, b = 6/x = 6/((-18)^(1/3)) = (-12)^(1/3) = b

substituindo a=0 e b=-12^(1/3) nas equações [1] e [2] tem-se

[1*] x^3 + 18 = 0
[2*] x^3 -12^(1/3)x + 12 = 0

claramente, para estes valores de a e b as equações [1*] e [2*] (que são as mesmas equações [1] e [2] quando a=0 e b=-12^(1/3)) tem ambas a raiz comum

x = -12^(1/3)

Então, se a = 0 tem-se a solução:
a=0, b=-12^(1/3) e a raiz comum é x = -12^(1/3)

Mas você falou em raizes comuns, no plural, então supondo que [1] e [2] tem duas raizes comuns, chamadas r e s e se além disso p é raiz de [1] e q é raiz de [2], então rsp = -18 e rsq = -12 (relações de Girard), donde

[4] 2p=3q

além disso r+s+p=-a e r+s+q=0, donde

[5] q=a+p, substituindo em [4], vem p=-3a, q=-2a e r+s=2a

Como rsp = -18 e p=-3a então rs(-3a)=-18, donde rs = 6/a
Por Girard em [1],

0 = rs+rp+sp = (6/a) + p(r+s) =
...substituindo r+s = 2a e p = -3a...
6/a +(-3a)(2a) donde 6/a-6a^2 = 0, isto é, 1-a^3=0, cujo único valor real é

[6] a=1

Como q=-2a e p=-3a e rs=6/a e r+s=2a e a=1, então

[A] q=-2 e p=-3.e rs=6 e r+s=2

Logo [1] e [2] se escrevem:

[1**] (x-r)(x-s)(x-p) = (x^2-(r+s)x+rs)(x+3) =
= (x^2-2x+6)(x+3) = x^3+x^2+18 = 0 (a=1, OK)

[2**] (x-r)(x-s)(x-q) = (x^2-2x+6)(x+2) =
= x^3+2x+12 = 0 (b=2)

Portanto, se há duas raizes comuns r e s elas satisfazem

(x-r)(x-s)=x^2-(r+s)x+rs = ... aproveitando [A] acima...
x^2-2x+6 = 0, donde r = 1 + i5^(1/2) e s = 1- i5^(1/2) são as raizes comuns.

Então uma outra solução é:
a=1, b=2 e as raizes comuns são 1+(-5)^(1/2) e 1-(-5)^(1/2).

Solução, havendo duas raizes comuns elas serão 1+(-5)^(1/2) e 1-(-5)^(1/2) e neste caso a=1 e b=2.

Se considerarmos uma única raiz comum uma solução pode ser a=0, b=-12^(1/3) com raiz comum x = -12^(1/3).

Answer 2

algebra matricial e fogo ehhehehe

Answer 3

Hahaha! O que é isso, ta fazendo lição de casa na internet?? Essa foi boa!

Bem, em todo caso:

a=0
b=6
para x=1

Answer 4

Eu axei o mesmo resultado da moça daí de cima,
mas eu axo q tem outro jeito tbm.
Mas agora ñ dá tempo de eu resolver pq meu chefe chegou!!

Answer 5

Basta igualaar as duas equações!
x³+ax²+18=x³+bx+12
ax²+bx+6=0
Donde
x= -b +- raíz de b²-24a / 2a

Answer 6

Estou procurando um professor em sp

Answer 7

iguale as duas equações!
x³+ax²+18=x³+bx+12
ax²+bx+6=0

x= -b +- raíz de b²-24a / 2a