Conhece a média aritmética e a média geométrica?

Question

Mostre que dados dois números reais x e y, a media aritmética desses é sempre maior ou igual a média geométrica dos mesmos . Ou seja,
( x+y )/2>=Vxy

Answer 1

A média geométrica, como onome diz, tem a ver com geometria: Vamos ver: Você tem um círculo de raio R qualquer.Este círculo tem um diâmetro 2R entre dois pontos A e B. Tome um ponto qualquer sobre este diâmetro. Um ponto C. 2R= AC + CB correto? Muito bem, vamos chamar AC de x e CB de y, nossos dois valores. A média geomètrica por definição, é um número positivo tal a, tal que a^2 = xy.
Voltando ao círculo, vamos traçar um reta ortogonal ao diâmetro exatamente sobre o ponto C. A distância medida entre C e o ponto em que a reta corta o círculo é a medida da Média geométrica entre x e y.
Se c não está sobre o centro do círculo então sempre será uma medida menor que o raio do círculo que poderá assim ser descrito: R= x+y /2. logo, x+y/2 >= raiz de x.y

Boa a pergunta, lembrei de um bocado de coisas!

Answer 2

Na realidade isto não se limita a 2 números. Se x_1, ...x_n são n números positivos, então, sendo a a sua m. aritmética e g a m. geométrica, então a>= g, com igualdade se, e somente, se, x_1= x_2 =.....x_n. Mas o seu enunciado está errado, os números não podem ser negativos para quq a desigualdade valha.

Há vária provas para isto. Vou dar uma baseada na propriedade da função exponencial segundo a qual e^x >= 1 + x para todo real x, com igualdade se, e somente se, x= 0. Para cada i =1,...n, seja r_i = (x_i - a)/a = x_i/a - 1 (faz sentido, pois a>0). Então, Soma(i=1,n) r_i = 0. Pela citada propriedade da função exponencial, temos para cada i=1,....n que
e^(r_i) >= 1 + r_i = x_i/a, com igualdade se, e somente se, r_i = = o, ou seja, se, e somente se, x_i = a.
Multiplicando-se estas n desigualdades e alplicando as propriedades da funcão exponencial,obtemos, visto que os 2 membros são positivos,

e^(Soma(i=1,n) r_i) >= Produto(i=1,n) (x_i/a), com igualdade se eesomente se x_1 = x_2....= x_n =a. Como Soma(i=1,n) r_i = 0, chegamos a que e^0 = 1 >= (Produto(i=1,n) (x_i/))/a^n = g^n/a^n = (g/a)^n. Como a e g são positivas, concluimos que a>= g, com igualdade se, e somente se, x_1 = x_2 =...... x_n.

Se vc quiser provar para apenas 2 números positivos (que é um caso menos geral) sem usar a função exponencial, basta observar que (raiz(x) - raiz(y)) ^2 >= 0, com igualdade se, e somente se, x = y. Assim, x - 2raiz(xy) + y >= 0 => (x + y)/2 >= raiz(xy), com igualdade se, e somente se, x =y. Pelas definições das médias, concluimos que a >= g, com igualdade se, e somente se, x =y.

Embora tenhamos aqui considerado números positivos, a desigualdade é trivialmente verificada se todos forem >=0, pois se um deles for nulo temos g=0 e a>=0

Answer 3

Será sempre igual ou maior.

Ex.: X=2 e Y=2 (MA=2, MG=2) X=Y

Ex.: X=3 e Y=6 (MA=4,5 MG=4,2) X<>Y

Answer 4

A média geométrica de um conjunto de números é sempre menor ou igual à média aritmética dos membros desse conjunto (as duas médias são iguais se e somente se todos os membros do conjunto são iguais). Isso permite a definição da média aritmética-geométrica, uma mistura das duas que sempre tem um valor intermediário às duas.

Dá uma olhada nesse site que explica direitinho: http://pt.wikipedia.org/wiki/M%C3%A9dia_geom%C3%A9trica