como mostrar que não há uma cardinalidade entre os naturais e os reais?

Answer 1

Acho que você quis dizer que não há bijeção entre os reais e os naturais, certo? Em outras palavras, que o conjunto dos reais não é enumerável. Um das provas, devida a Cantor, baseia-se no fato de que o conjunto dos reais é um espaço métrico completo.

Basta demonstrar que [0, 1] não é enumerável. Seja X = (x1, x2....xn...) uma enumeração qualquer de elementos de I =[0, 1]. Existe um subintervali I1 de I que não contem x1. . Existe também um subintervalo I2 de I1 que não contém x2. Por indução finita, este processo constrói uma sequência encaixada de intervalos In tal que, para cada n, x_n não está em In. Assim, nenhum dos termos da enumeração X pertence a todos os intervalos In. Como (In) é uma sequência encaixada de intervalos fechados e R é completo, existe um elemento x comum a todos os intervalos In , o qual, como vimos, não é elemto de X. Isso nos mostra que nehuma enumeração de elementos de I cobre a totalidade de I, de modo que I -e, portanto, R - não são enumeráveis.

Outra conhecida prova também devida a Cantor é baseada na expansão decimal dos elementos de [0, 1]

Answer 2

Para demonstrar isso basta mostrar que os reais não são enumeráveis.
A demonstração deste fato vc pode encontrar no livro do Djairo Guedes de Figueiredo, página 46, teorema1.16.
ele usa Método Diagonal de Cantor, é bem tranqüilo a demonstração.
obs.: só tome cuidado que em algumas edições do livro tem um erro no enunciado do teo.