Por que que dadas duas funções mensuráveis, a composição delas não é necessariamente, mensurável?

Answer 1

Seja f definida num espaco topológico X e com valores em um espaço topológico Y. Seja M uma sigma-álgebra definida em X. Então, f é mensurável se, para todo aberto V de Y, f^(-1)(V) for um conjunto pertencente a M

Suponhamos agora que se defina uma sigma-algebra em Y e seja g uma funcao mensuravel de Y em um espaco topologico Z. Se h = g o f, entao para todo aberto V de Z temos que h^(-1)(V) = f^(-1)(g^(-1)(V)). Como g é mensurável, g^(-1)(V) está em N, mas não tem necessariamente que ser um conjunto aberto de Y. Desta forma, h^(-1)(V) = f^(-1)(g^(-1)(V)) pode não estar em M, o que significa que h não tem necessariamente que ser mensurável.

Em alguns casos, podemos garantir a mensurabilidade de h. Um destes casos é se g for contínua, pois aí g^(-1)(V) é um conjunto abertode Y. Outro caso, mais geral, é se g for um mapeamento de Borel. A demonstração disto está nos livros de Teoria de Medidas, como Real and Complex Analysis, de Walter Rudin.

Espero ter ajudado

Answer 2

Um livro bom que vc pode ler sobre é:
The Elements of Integration and Lebesgue Measure
de Robert G. Bartle