para que servem os números complexos?

Question

os complexos aparecem no cotidiano?

Answer 1

Quando alguém vai construir algo novo é desejável conhecer previamente o seu desempenho para que a probabilidade de não dar certo seja minimizada.

Para prever o comportamento antes de construir são usados "modelos matemáticos". São expressões e fórmulas que mostram com boa precisão o desempenho do produto a ser construído.

Nem todas áreas utilizam modelos matemáticos que utilizam números complexos. Mas algumas áreas, como motores elétricos, sistemas de amortecimento de veículos utilizam números complexos para simular o comportamento.

Answer 2

Para que servem os números complexos?

Os números complexos apareceram no século XVI ao longo das descobertas de procedimentos gerais para resolução de equações algébricas de terceiro e quarto grau.
No século XVII os complexos são usados de maneira tímida para facilitar os cálculos.
No século XVIII são mais usados na medida que se descobre que os complexos permitem a conexão de vários resultados dispersos da Matemática no conjunto dos números reais. No entanto, nada é feito para esclarecer o significado desses novos números.
No século XIX, aparece a representação geométrica dos números complexos, motivada pela necessidade em Geometria, Topografia e Física, de se trabalhar com o conceito de vetor no plano.
Os números complexos passam a ser aplicados em várias áreas do conhecimento humano, dentro e fora da Matemática.


Conclusões

As equações de segundo grau com discriminante (delta) negativo não motivaram o aparecimemto dos números complexos.
Que significado teriam os números negativos e as raízes quadradas destes?
Os números complexos emergiram em pleno momento histórico chamado de Renascença (1400-1600), onde tivemos, estimulados pelo desenvolvimento comercial e pelo crescimento das cidades européias, o desenvolvimento da Matemática através dos trabalhos de Paccioli (1494), Tartaglia e Cardano (1545).
Os complexos não foram aceitos naturalmente como números. Não havia sentido (significado geométrico) em uma raiz quadrada de um número negativo.

As equações cúbicas estudadas por Cardano (1545) e Bombelli (1572) motivaram a utilização dos números complexos. Foi necessário trabalhar com os números complexos, "como se fossem números", para achar a solução real (positiva) x = 4 do problema: "Seja x^3 o volume de um cubo de aresta x e 15x o volume de um paralelepípedo retângulo cuja área da base é 15 e cuja altura é igual à aresta do cubo.
Determine x de modo que x^3 = 15x + 4 ". Foi encontrado uma dificuldade ao aplicar o método (fórmula) de Cardano nesta equação de terceiro grau, pois apareceu na solução uma raiz quadrada de número negativo: x = (2 - raiz-121)1/3 + (2 + raiz-121)1/3. Como uma solução com radicais de números negativos poderia produzir uma solução real positiva x = 4 ? A fórmula de Cardano está errada? O número x = (2 - raiz-121)1/3 + (2 + raiz-121)1/3 = 4

O símbolo raiz de-1 , para a raiz quadrada de -1, introduzido por Girard (1629), passou a ser representado pela letra i a partir de Euler (1777). Foi Descartes (1637) quem introduziu os termos real e imaginário. A expressão números complexos foi usada pela primeira vez por Gauss (1831).

Cardano (1545), Bombelli (1572) e Leibniz (1676) conjecturaram que a soma de dois complexos conjugados daria um números real. Cauchy (1829), Hermite (1865), entre outros, constataram estas propriedade. Girard (1629), Descartes (1673) e D'Alembert (1746) conjecturaram o Teorema Fundamental da Álgebra (TFA), que foi provado por Gauss (1798). ( [11] Smith; [1] Boyer; [15] Ricieri; [34] Mac Tutor; [35] Mathematics; [6] Eves; Analyseos Miraculum de Leibniz (1702); Invention novelle en L'Algebre de Girard (1629); Reflexions sur la cause générale des vents de D'Alembert (1746) ).

Girard (1628), Wallis (1685), Argand (1790) e Wessel (1797), independentemente motivados pela Geometria e pela Topografia, representaram geometricamente, de maneira intuitiva e prática, os complexos como pontos (vetores) num plano cartesiano. Gauss (1831) e Hamilton (1833) redescobriram a representação geométrica e definiram os complexos.
Gauss os definiu como números da forma a+bi, onde a e b são números reais e i2 = -1. Hamilton os definiu como o conjunto dos pares ordenados (vetores) (a,b), onde a e b são números reais, identificando (0,1) com 0+i e (1,0) com 1+0i . Hamilton associou a multiplicação (a,b)×(x,y) = (ax-by , ay+bx) a uma operação envolvendo a rotação de vetores em torno da origem. Multiplicar por i envolve uma rotação de 90 graus, multiplicar por i2 = -1 envolve uma rotação de 180 graus, multiplicar por i3 = -i envolve uma rotação de 270 graus e assim por diante.

Answer 3

Vc só vai encontrar aplicação direta de números complexos estudando engenharia, física e matemática. Existem enumeras aplicações nestas áreas, mas é muito especifico para dar muitos detalhes aqui.

Answer 4

Um exemplo clássico são sistemas de equações diferenciais lineares (ou linearizados). Se a matriz dos coeficientes das equações tiver autovalores complexos, a solução será periódica ou espiralada. Tais sistemas aparecem, por exemplo, em eletromagnetismo, meteorologia e dinâmica de populações.

A transformada de Fourier, que é uma ferramenta útil em compressão de dados (imagens, videos, músicas, por exemplo) é definida no corpo dos complexos.

Answer 5

As vezes descobrimos muitas coisas que não sabemos para que serve, mas no futuro a descoberta junto com outras vai fornecer algo de concreto muito importante, não se preocupe tanto com isso.

Veja só uma professora que defende isso falando dessa maneira?

Sabe o que acontece, as vezes o que para um é muito importante para outro não é, e graças a Deus por isso pois se todos pensassem da mesma maneira ficaria complicado.

Muitos já deram respostas interessantíssimas, e eu prefiro não comentar mais.

Gostei muito da resposta do Diogo.

Answer 6

A Matemática Moderna tem esse nome não por ser moderna mas porque, na escola, se aprende um pouco de tudo que se refere a cálculos matemáticos e se pode aplicar a parte desejada na profissão que se escolher.

A equação do problema x² - 10x + 40 = 0
delta = b² - 4ac ==>
x = [(-10)² +/- raiz de -60 ] : 2 ==>
x = [(-10)² +/- raiz de 4(-15)]:2 ==>
x = 5 +/- raiz de -15

Verificou-se que 5 - \/-15 e 5 + \/-15 eram soluções, pois operando com as regras usuais da álgebra obtinha:
(5 - \/-15) + (5 + \/-15) = 10 e (5 - \/-15) x (5 + \/-15) = 40, concluindo, no entanto, serem esses resultados "tão sutis quanto inúteis".

Era necessário dar uma interpretação às raízes quadradas de números negativos, pois elas não são úteis como se supunha.

Os números complexos são ensinados para aplicação sobretudo na área de Engenharia, em especial nos estudos de cirucitos elétricos de correntes alternadas.

Caso, seu interesse não seja Engenharia. Vale para ser aplicado no seu exame vestibular que abrange um pouco de cada assunto matemático para medir a qualidade do candidato.

Answer 7

Classicamente os professores dizem que serve para resolver equações de 2º grau quando o delta dá negativo, e quando você volta na formula para achar o x, fica uma raiz de número negativo. Essa é uma das "utilidades", mas pelo que professores já me disseram, a necessidade apareceu para solucionar alguns calculos complexos de física, principalmente a parte de elétrica e eletrônica que trabalha muito com cálculos em que existe efetivamente um resultado mas se deparavam com situações destas que "travavam" o caminho.

Answer 8

Pra complicar ...