Quais são todos os pares de inteiros (x; y) tais que 9xy - x² - 8y² = 2005 ?

Question

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Answer 1

Cara, não vou responder, não tenho coragem de fazer todas as contas, vou só indicar a maneira como pode ser feita:
9xy - x² - 8y² =8xy - 8y²+xy - x²=8y(x-y) - x(x-y)=2005
faça (x-y)=z
8yz-xz=z(8y-x)=2005
8y-x=2005/z
o termo da esquerda é um número inteiro (o produto de dois números inteiro é inteiro e a soma também),mas isso só pode ser verdadeiro se o membro da direita também for inteiro, logo devemo ter que z divide 2005,mas fazendo uma fatoração de 2005 nos seus primos teremos 2005 = 5*401, dessa forma z só pode assumir os quatro valores
z=5 ou z=401
z= - 5 ou z= - 401
Pois não existem outros inteiros que dividam 2005, uma vez que qualquer divisor de um número tem que ser dividido por algum divisor primo desse número.
substituindo o valor de z temos
x-y=5 o que equivale a x=5+y;
x-y= - 5 o que equivale a x= - 5+y;
x-y=401 o que equivale a x=401+y;
x-y= - 401 o que equivale a x= - 401+y
você substitue cada uma dessas equações na equação original e tira os valores de y volta para elas e tira os valores de x.









Sim, não esqueça de analisar os casos:
z=1
z=-1
z=2005
z=-2005.

Answer 2

Veja que:

2005 = 9xy - x^2 - 8y^2 =
= 8xy - 8y^2 -x^2 + xy =
= 8y(x-y) - x(x-y) =
= (8y-x)(x-y)

chamando A=8y-x e B=x-y tem-se que
A+B=7y, isto é, A+B é múltiplo de 7, porém...

As únicas fatorações de 2005 são:
2005 = 1x2005 (aqui A+B=1+2005=2006 não é múltiplo de 7, não serve)
2005 = 5x401 (aqui A+B=406=(7)(58), donde y=58)
2005 = (-5)(-401) (aqui A+B=-406=(7)(-58), donde y=-58)
2005 = (-1)(-2005) (aqui A+B=-1-2005=-2006 não é múltiplo de 7, não serve)

logo, ou y = 58 ou y = -58

o resto sai por substituição e a solução é

ou x=58 e y=63
ou x=-58 e y=-63