Gostaria de saber onde posso encontrar alguma referência na qual a demonstração (de que a equação acima não possui nenhuma terna (x,y,z) de números inteiros que seja solução dela) esteja presente.
2006-09-11 03:30:55 · 3 respostas · perguntado por Estefano Souza 2 em Ciências e Matemática ➔ Matemática
suponha por absurdo que a equação tenha uma solução (x,y,z)=(X,Y,Z) em inteiros.
X^2 + Y^2 = 3Z^2
dividindo pelo quadrado do mdc(X,Y) (que chamarei de m^2)...
(X/m)^2 + (Y/m)^2 = 3(Z/m)^2
Note que X/m e Y/m são inteiros, pois m é divisor de X e de Y, seja a=X/m e b=Y/m e c=Z/m, substituindo...
a^2 + b^2 = 3c^2
a e b não podem deixar ambos resto zero ou 2 na divisão por 4 pois neste caso ambos seriam pares e não relativamente primos. Os possíveis restos de um quadrado perfeito n^2 (quadrado de um inteiro) na divisão por 4 são 0 ou 1. n^2 tem resto 0 por 4 quando n deixa resto 0 ou 2 na divisão por 4; n^2 deixa resto 1 na divisão por 4 quando n tem resto 1 ou 3 na divisão por 4. Cosidere os possíveis restos de a,b e c na divisão por 4:
RESTOS:
a ----- b ----- a^2 --- b^2 -- a^2+b^2--| c -- c^2 --- 3c^2
0 ----- 1 ----- 1 -------- 0 -------- 1 ------| 0 ---- 0 ------- 0
1 ----- 0 ----- 1 -------- 0 -------- 1 ------| 1 ---- 1 ------- 3
1 ----- 1 ----- 1 -------- 1 -------- 2 ------| 2 ---- 0 ------- 0
2 ----- 1 ----- 0 -------- 1 -------- 1 ------| 3 ---- 1 ------- 3
1 ----- 2 ----- 1 -------- 0 -------- 1 ------|
então os restos possíveis de a^2+b^2 na divisão por 4 são 1 e 2, mas os restos possíveis de 3c^2 na divisão por 4 são 0 e 3, ou seja, sempre diferentes dos restos de a^2+b^2, donde essas quanridades são sempre diferentes... Portanto nossa hipótese de que a equação tivesse solução nos levou a um absurdo! Logo a equação não tem solução.
2006-09-13 13:01:34 · answer #1 · answered by Eric Campos Bastos Guedes 3 · 0⤊ 0⤋
Sejam x,y,z inteiros.
Se x^2+y^2=3*z^2, o produto x.y é múltiplo de 6.
A solução pode ser simplificada.
x^2 + y^2 = z^2
Usando o que "Euler" disse, temos
x = 2ab
y = a^2 - b^2
z = a^2 + b^2
É impossível que x seja ímpar, pois 2ab sempre é par (ab + ab = par + par ou ímpar + ímpar = par).
Agora resta provar que é impossível que ou x ou y não seja múltiplo de 3.
(3k+1)^2 ou (3k+2)^2 gera 3k+1.
A soma x^2 + y^2, com x,y não múltiplos de 3, é igual a (3k+1) + (3k+1) = 3k+2. Vendo que
3k^2 = 3k
(3k+1)^2 = 3k+1
(3k+2)^2 = 3k+1,
3k+2 não é quadrado perfeito, e dessa forma z não seria natural. Logo, xy é par e múltiplo de 3, xy = 6n.
2006-09-11 05:14:26 · answer #2 · answered by Eurico 4 · 2⤊ 0⤋
Infelizmente não sei, mas boa sorte! ***
2006-09-11 03:31:47 · answer #3 · answered by Tatinha 5 · 0⤊ 0⤋