O que é um axioma?

Question

Não cole de dicionários. Eu já os consultei.
Quero detalhes, exemplos.
Agradeço.

Answer 1

O termo axioma é originado da palavra grega αξιωμα (axioma), que significa algo que é considerado ajustado ou adequado, ou que tem um significado evidente. A palavra axioma vem de αξιοειν (axioein), significando considerar digno, que por sua vez vem de αξιος (axios), significando digno. Entre os filósofos dos gregos antigos, um axioma era uma reivindicação que podia ser vista para ser verdade sem nenhuma necessidade de prova.

Na epistemologia, um axioma é uma verdade auto-evidente sobre a qual outros conhecimentos devem se apoiar, da qual outro conhecimento é construído. Para dizer o mínimo, nem todos os epistemologistas concordam que os axiomas, entendidos neste sentido, existem.

A palavra axioma como usada na Matemática moderna, não é uma proposição que é auto-evidente. Mais do que isso, simplesmente significa um ponto de partida em um sistema lógico. Por exemplo, em alguns anéis, a operação de multiplicação é comutativa, e em alguns não é; tais anéis nos quais é são ditos por satisfazerem o "axioma da comutatividade da multiplicação." Outro termo para axioma é postulado. Um axioma é uma base elementar para um sistema formal de lógica que junto com as regras de inferência definem a lógica.

Por exemplo (conforme dito por Peano), a simples adição aritmética pode ser definida e muitos teoremas provados por assumindo que

um número chamado 0 (zero) existe
cada número X tem um sucessor chamado inc(X)
X+0 = X
inc(X) + Y = X + inc(Y)
Usando esses axiomas, e definindo os nomes habituais 1, 2, 3, e assim por diante como inc(0), inc(inc(0)), inc(inc(inc(0))) respectivamente, podemos mostrar que:

inc(X) = X + 1
e

1 + 2 = 1 + inc(1) Expansão da abreviação (2 = inc(1))
1 + 2 = inc(1) + 1 Axioma 4
1 + 2 = 2 + 1 Abreviação (2 = inc(1))
1 + 2 = 2 + inc(0) Expansão da abreviação (1 = inc(0))
1 + 2 = inc(2) + 0 Axioma 4
1 + 2 = 3 Axioma 3 e uso da abreviação (inc(2) = 3)
Qualquer fato que podemos derivar dos axiomas não é necessariamente um axioma. Qualquer coisa que não podemos derivar a partir de axiomas e dos quais não podemos derivar a negação poderia razoavelmente ser adicionado como um axioma.

Provavelmente o mais famoso e mais antigo conjunto de axiomas é os postulados de Euclides. Esses se mostraram ser bem incompletos e, na verdade, muitos outros postulados são necessários para completamente caracterizar a sua geometria (Hilbert usou 23).

4+1 desde o quinto postulado (por um ponto fora de uma reta há exatamente uma paralela) suspeitou-se ser derivado dos primeiros quatro por quase dois milênios. Ultimamente, o quinto postulado foi descoberto ser independente dos primeiros quatro. Certamente, alguém pode assumir que nenhuma paralela sobre um ponto fora de uma reta existem, que exatamente uma existe, ou que existem infinitamente muitas. Essas escolhas nos dão formas diferentes de geometrias nas quais os ângulos internos de um triângulo adicionam-se em menos que, exatamente ou mais que dois ângulos retos, são respectivamente conhecidas como geometria elíptica, geometria euclidiana e geometria hiperbólica. A teoria da relatividade é essencialmente a afirmação de que massa dá geometria hiperbólica espacial.

O fato de que formas alternativas de geometria possam existir foi um grande problemas para os matemáticos do século XIX e em desenvolvimentos similares, diz a álgebra booleana, existiram geralmente esforços elaborados para derivar o sistema dos sistemas aritméticos normais. Galois mostrou antes de sua morte prematura que esses esforços eram um desperdício mas que grandes paralelos entre sistemas axiomáticos poderiam ser postos em uso desde que eles algebricamente resolvam muitos dos problemas geométricos clássicos. Por último, os paralelos abstratos entre os sistemas algébricos parecem ser mais importantes que os detalhes e a álgebra moderna nasceu.

No século XX, o teorema da incompletude de Gödel mostrou que nenhum grupo de axiomas explícitos (isto é, recursivos) é suficientemente grande para que as matemáticas comuns possam ser tão (1) completas (isto é, cada afirmação pode ser provada ou desmentida) e (2) consistentes (isto é, nenhuma afirmação pode ser tanto provada quanto desmentida).

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Ver também
Sistema axiomático
Axiomas de Peano
Axioma da escolha
Axiomas de contabilidade
Teoria axiomática ajustada
Geometria euclidiana
Hipótese do continuum
Axiomização

Answer 2

Axioma é algo que inicialmente é considerado como verdadeiro, como óbvio e por isso não é questionado.

Answer 3

O COLEGA AÍ DE CIMA EXAGEROU.
UM EXEMPLO : 1 É DIFERENTE DE ZERO

Answer 4

bereba

Answer 5

No 2ºgrau a gente sai com uma idéia de que tudo que se prova em matemática é absoluto, incontestável, uma verdade universal. Mas na verdade, na matemática moderna, o conceito de "verdade" depende, dentre outras coisas (Tarski definiu formalmente o que significa "verdade" em matemática) dos
axiomas que vc assume. Os axiomas eram usados desde Euclides, como "verdades evidentes em si mesmas". Para a matemática moderna, no entanto, não existe nada evidente em si mesmo. Um conjunto de axiomas define uma teoria, e nessa
teoria esses axiomas são verdadeiros, em outras não (p.ex. geometria euclideana e geometrias não-euclideanas).
O axioma da escolha é um dos mais polêmicos axiomas de teoria dos conjuntos. Muitos matemáticos não o aceitam, por trazer consequências "estranhas" na matemática. Porém, a maioria o usa (mesmo os que não o aceitam, muitas vezes
o usam sem perceber).

Answer 6

é uma afirmação aceita como verdadeira e.g o postulado das paralelas:em um plano escolha uma reta e um ponto fora da reta,por este ponto passa uma única reta paralela à reta escolhida.