Como calcular as diagonais de um polígono usando Análise Combinatória?

Question

Exemplo: Descubra qntas diagonais tem um decágono.

Answer 1

Para formar uma diagonal, cada vértice pode se ligar a quaisquer outros vértices que não ele próprio nem os dois adjacentes (nesse caso formaria um lado e não uma diagonal).
Assim, em um polígono de n lados (e, portanto, n vértices), cada vértice pode se ligar a (n-3) vértices. Porém, ao se multiplicar nx
(n-3), estamos contando cada diagonal duas vezes. Portanto, para ajustar a fórmula, dividimos por dois.

nº diagonais=n(n-3)/2

Para um decágono:
nº diagonais=10(10-3)/2
nº diagonais=35

obs: outra maneira de se chegar a essa fórmula, utilizando combinações é:
Cn,2 - n {número de maneira de ligar dois de n vértices - o número de lados do polígonos, que não são diagonais)
n!/(n-2)!2! - n
n(n-1)/2 - n
(n^2-n-2n)/2
(n^2-3n)/2
n(n-3)/2

Answer 2

Seja
n = número de lados
d = número de diagonais

Faça:

d = Combinaçao de n dois a dois - n

Vamos tentar colocar de modo um pouco mais legível:

d = C²n - n

Vamos ao detalhe adicional:

Diagonais de um decágono:

d = C²10 - 10 = 45 - 10 = 35

Resposta: 35

Obs: C²10 foi uma maneira precária de escrever combinação de 10, 2 a 2

Abração