Gente já que vocês responderam aquele muito rápido, vai mais um desafio para vocês, quero só vê quem responde

Question

Esse eu vi a muito tempo e achei muito interessante.



Um grupo de 13 piratas obteve um certo número de moedas de ouro que distribuidas igualmente entre eles, sobravam oito moedas.Imprevisivelmente, dois deles morreram.Eles voltaram a repartir e sobraram agora 3 moedas.Posteriormente três deles se afogaram.Repartindo novamente as moedas, restaram 5.Quantas moedas havia em jogo?

Só ganha os pontos quem mostrar a resolução.

Gente apelar não vale, fazer pelo computador é sacanagem, o unico que solucionou usando um argumento interessante foi o Tacio M, mas os pontos ainda não vão para ele, poiso argumento dele é furado e o furo está na 12ª linha(escrita)"Como x é um número inteiro, a'/5, b'/5 e c'/5 devem ser divisões exatas "
Isso não acontece necessariamente basta pegar x = 2, a'=b'=3 e c'=4 que derruba a afirmação.pois 2= 3/5+3/5+4/5 e as frações individuais não são inteiras.Pode ser que tenha outros erros só observei até o primeiro que encontrei não vi sentido em observar o restante.

P.S. Realmente a pergunta tem mais de uma solução, eu deveria ter falado que era a menor, mais não importa o que me interessa é a solução e não a resposta.

filósofo gostária que você me enviasse um resumo algoritmico da sua resolução para eu analisá-la, teve algumas partes que eu não entendi bem, mas as outras que entendi me parecerão bem coerêntes.

P.S. tem sim uma maneira bem simples de resolve-la, quando eu fechar o desafio eu digo como.

Answer 1

Vou fazer sem aritmética modular para que quem não se interessa por essas extravagâncias possa entender melhor. E também porque o JN diz que eu complico muito.

Já que 13+8=21 não satisfaz o problema, temos, obviamente, que multiplicar o 13 por algum número e acrescentar 8. Mas por qual número?

Bom, a diferença entre 13 e 11 é 2. O número desejado deve multiplicar o 2 de forma que o resto da divisão por 11 dê 6, para que somado ao 8 acrescentado no final dê 14, de forma que sobre 3 quando dividido por 11. Simplificando, o resto da divisão do número por 11 deve ser 6:2=3. A diferença entre 13 e 8 é 5. Da mesma forma que anteriormente, o número desejado deve multiplicar o 5 de forma que o resto da divisão por 8 dê 5, já que o 8 acrescentado no final não altera o resto em relação à divisão por 8. Simplificando, o resto da divisão do número por 8 deve ser 5:5=1. Assim, o problema reduziu.

Então agora temos apenas que encontrar um número que dividido por 11 sobra 3 e dividido por 8 sobra 1. Repetimos amargamente o mesmo procedimento anterior, só que agora só temos duas condições. Já que 11+3,14 dividido por 8 não sobra 1, temos que multiplicar 11 por algum número e acrescentar 3!!!!! Qual???? Legal, a diferença entre 11 e 8 é 3. O número desejado deve multiplicar o 3 de modo a dar resto 6 quando dividido por 8 , para que somado com o 3 final, dê 9, que dá resto 1 quando dividido por 8. Obviamente esse número é 2!!!! Finalmente!!!!.

O número desejado então para multiplicar o 13 é 2x11+3, 25!!! Vamos testar: 25 dividido por 8 dá 3 e sobra 1. Satisfez a condição.
A resposta do seu problema é então 13x25+8, que na calculadora dá 333. Não conheço outra maneira mais simples de resolver essas mirabolantes equações diofantinas, faça o favor de me informar se você conhecer.

Acréscimo: Tudo bem, vamos lá:

Seja o sistema de equações modulares:

x = a mod b
x = c mod d

Todo sistema dessa forma pode ser resolvido reduzindo-se a uma equação da forma:

(b-d)z = (d+c-a) mod d

O valor resultante deverá ser aplicado na primeira equação.

A demonstração está logicamente explicada na minha resposta. Vejamos um exemplo:

x = 2 mod 7
x = 1 mod 3

Fica então:
(7-3)z = (3+1-2) mod 3
4z=2 mod 3
2z=1 mod 3
O menor valor par que dá 1 mod 3, já que queremos a menor solução inteira, é 4 (se quisermos outras, utilizamos 10,16..). Então, temos:
2z=4
z=2

Aplicando-se o resultado na primeira equação temos a resposta: 2*7+2=16. 16 é 2 no módulo 7 e 1 no módulo 3.

Quando existirem mais de duas equações, deveremos fazer sucessivas reduções de uma com as demais até sobrar só uma. Foi o que eu fiz no seu problema. Primeiro reduzi a primeira com a segunda e a terceira, depois reduzi as duas que sobraram: Assim:

x=8 mod 13
x= 3 mod 11
x= 5 mod 8

que eliminando a primeira equação dá:

(13-11)z= (11+3-8) mod 11 => 2z=6 mod 11 => z=3 mod 11 (eq. 1)
(13-8)z=(8+5-8) mod 11 => 5z=5 mod 8 => z= 1 mod 8 (eq.2)

Temos então o sistema:
z=3 mod 11
z=1 mod 8

Duas equações que reduzidas dá:

(11-8)w=(8+1-3) mod 8
3w=6 mod 8
w= 2 mod 8.

Então 2 é a menor resolução do segundo sistema.

Então multiplica-se o dois na equação anterior, temos 2x11+3=25. Regressivamente o 25 multiplica-se na primeira, 25x13+8, obtendo=se 333 que é a menor resposta.

Acrescento que se você quiser outras respostas basta utilizar outros x = 2 mod 8, por exemplo 10, que produz resultado (10*11+3)*13+8=1477, ou 18,26,34..., etc.

Não sei se esse algoritmo existe em algum livro, eu desenvolvi para resolver seu problema. Me parece ser genérico e resolver qualquer quantidade de condições do tipo das três da história dos piratas. Desta forma podemos criar problemas desse tipo à vontade. Obrigado e boa noite.

Answer 2

Problema:
Encontrar M tal que
M mod 13 = 8 ou M = 13a + 8, a inteiro
M mod 11 = 3 ou M = 11b + 3, b inteiro
M mod 8 = 5   ou M =   8c + 5, c inteiro

Resposta:
Menor N° de moedas = 333
Outras respostas: 1477, 2621, 3765, 4909, ...

Solução "mão grande":
Seja a função Pirata(i) definida conforme abaixo.
Pirata(0) retorna a s(1) (1ª solução) = 333
Pirata(s(1)+1) retorna s(2) = 1477
Pirata(s(2)+1) retorna s(3) = 2621
Pirata(s(3)+1) retorna s(4) = 3765
Pirata(s(4)+1) retorna s(5) = 4909

M = s(n+1) = Pirata(s(n)+1)

ou então:

M = 333 + mmc(13,11,8).t = 333 + 1144t


Public Function Pirata(i)
Dim n&, a#, b#, c#
n = i
While 0 <> 1
       a = (n - 8) / 13
       If a = Int(a) Then
              b = (n - 3) / 11
              If b = Int(b) Then
                     c = (n - 5) / 8
                     If c = Int(c) Then
                            Pirata = n
                            Exit Function
                     End If
              End If
       End If
       n = n + 1
Wend
End Function

Answer 3

A resposta correta é 333 moedas. Mas não é a única. Exitem outras como 1477, 2621 e muitas outras.

Para resolver vamos parametrizar o total de moedas em função do número de moedas que cada um recebeu em cada divisão.
Assim, se n for no número de moedas que cada um recebeu em cada uma das divisões temos:
Na divisão 1, o número de piratas era 13.
total de moedas = n*13+8
Na divisão 2, o número de piratas era 11
total de moedas = n*11+3
Na divisão 3. o número de piratas era 8
total de moedas = n*8+5

Vamos construir uma tabela com o total de moedas para cada divisão tendo como variável o valor n.

Nesta tabela basta localizar um número que apreça nas 3 colunas, correspondentes às 3 divisões.




ndiv 3div2div1
0538
1131421
2212534
3293647
4374760
5455873
6536986
7618099
86991112
977102125
1085113138
1193124151
12101135164
13109146177
14117157190
15125168203
16133179216
17141190229
18149201242
19157212255
20165223268
21173234281
22181245294
23189256307
24197267320
25205278333
26213289346
27221300359
28229311372
29237322385
30245333398
31253344411
32261355424
33269366437
34277377450
35285388463
36293399476
37301410489
38309421502
39317432515
40325443528
41333454541
42341465554

Answer 4

x = número de moedas de ouro (número inteiro)

1a divisão: x/13 resta 8, portanto x = 13*a + 8 (a inteiro) (I)
2a divisão: x/11 resta 3, portanto x = 11*b + 3 (b inteiro) (II)
3a divisão: x/8 resta 5, portanto x = 8*c +5 (c inteiro) (III)

8*c +5 = 11*b +3 = 13*a + 8 =>
3*(13*a +8) +(11*b +3) +(8*c +5) = 3x +x +x = 5x =>
5x = (13*(3a) +(8+5)) +(11*b +(8+3)) +(8*c +8) =>
5x = 13*(3a+1) +11*(b+1) +8*(c+1)

se a, b, c são inteiros, 3a+1, b+1, c+1 também serão inteiros e chamarei essas parcelas de a', b', c' respectivamente, logo:
5x = 13a' +11b' +8c' => x = 13*a'/5 + 11*b'/5 + 8*c'/5

Como x é um número inteiro, a'/5, b'/5 e c'/5 devem ser divisões exatas. dessa forma, basta agora encontrar os valores de a, b, c que geram múltiplos de 5:

a'= 3a+1 = 5k => 3a = 5k -1 => a = (5k -1)/3 => ka= 2, 5, ..., 3n - 1;
a = 3, 8, 13, ..., 5na -2 = (x - 8)/13 (de (I)) =>
x= 65na -26 +8 = 65na -18 (A)

b'= b+1 = 5k => b = 5k -1 => kb=1, 2, ..., n
b = 4, 9, ..., 5nb -1 = (x-3)/11 (de (II)) =>
x= 55nb -11 +3 = 55nb -8 (B)

c'= c+1 = 5k => c = 5k -1 => kc=1, 2, ..., n
c= 4, 9, ..., 5nc -1 = (x-5)/8 (de (III)) =>
x= 40nc -8 +5 = 40nc -3 (C)

onde na, nb, nc são quaisquer valores naturais menos o '0'.
Devo agora encontrar a primeira intersecção de A, B e C

A = {47, 112, 177, 242, 307, 372, 437, 502, 567, ..., 1477}
B = {47, 102, 157, 212, 267, 322, 377, 432, 487, 542, 597, ..., 1477}
C = {37, 77, 117, 157, 197, 237, 277, 317, 357, ..., 1477}

Portanto, o número de moedas é 1477.

PS: essa última etapa, fiz praticamente por tentativas, preciso pensar mais pra econtrar uma maneira inteligente de encontrar o resultado, mas estou sem tempo agora.

Answer 5

x/11-3=x/8-5

8x-264/88=11x-440/88

8x-11x=-440+264

3x=176

x=176/3

0.o

Onde será que eu errei?

Answer 6

Não peça me a resolução: 125 é a resposta.