Questões - Cálculo I?

Question

1. Uma caixa sem tampa, de base quadrada, deve ser construída de forma que seu volume seja 250m³. O material da base custará 120$ por m² e o material dos lados 98$ por m². Encontre as dimensões da caixa de material de modo que o custo do material seja o mínimo possível.

2. Uma rede de água potável ligará uma central de abastecimento situado à margem de um rio de 500m de largura a um conjunto habitacional situado na outra margem do rio, 2000m abaixo da central. O custo da obra através do rio é de 640$ por m², enquanto, em terra, custa 312$. Qual a forma mais econômica de se instalar a rede de água potável?

3. Qual a área máxima de terra, plana e retangular, que se pode cercar com 8000m de arame?

4. Achar dois números positivos cuja soma seja 70 e cujo produto seja o maior possível.

:::Por Favor, Preciso Do Desenvolvimento Das Questões:::
Obrigada!

Answer 1

1)
___Caixa: arestas L, L e A (de "A"ltura).
___Custo C = 120(L^2)+ 98(4LA) = 120L^2+ 392LA

Se o volume tem que ser 250 m3,
___Volume = L*L*A = 250
___A = 250/L^2

Substituindo em C,
___C = 120L^2+ 392L(250/L^2)=
___ = 120L^2+ 98000/L

O custo é minimo (em função das dimensões da caixa) quando a derivada do custo, C, em relação à aresta, L, é igual a zero:
___dC/dL = 0
___240L- 98000/L^2 = 0
___240L = 98000/L^2
___L^3 = 98000/240 = 408,33
___L = 7,42 m3---> A = 4,54 m3

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2)
Não entendi essa questão.

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3)
___Perímetro da cerca = 2C(omp)+ 2L(arg) = 8000
___Área A = LC

Do perímetro, pode-se deduzir que C = 4000- L; substituindo na área,
___A = L(4000- L) = 4000L- L^2

A área máxima acontece quando sua derivada em relação à largura é zero,
___dA/dL = 0
___4000- 2L = 0
___2L = 4000
___L = 2000----> C = 2000.

A área máxima está num quadrado de 2000x2000m.
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4)
___S(oma) = x+ y = 70-----> y = 70- x
___P(roduto) = xy = x(70- x) = 70x- x^2

O produto máximo é... já sabe,
___dP/dx = 0
___70- 2x = 0
___2x = 70
___x = 35-----> y = 35.

Answer 2

1. L³=250
L=6,3

Custo base: 9525,60$
Custo dos lados: 15558,48$
Total: 25084,08$


2. Fazendo a instalação em terra (fundo do rio)


3. 3.000m²
b=3000m
h=1000m

4. 35 e 35
35+35=70
35*35=1225
impossível encontrar quaquel valor superior!