Onde errei ao calcular o limite dessa série?

Question

Pensei que o limite fosse zero, mas é 1?
Por quê?
Imagem da minha solução no link seguinte (é uma figura em jpg):
http://static.flickr.com/91/231558229_02e0773165_o.jpg

Só não está claro para mim que a sequência da raiz enésima de 2 converge para um.
Na verdade, ainda estou cursando Cálculo II, de forma que estou vendo por conta própria essa parte de séries e sequências através de um livro, por isso a minha "santa ignorância"...

Answer 1

Em primeiro lugar, isso não é uma série, é uma seqüência. Se fosse uma série você teria uma soma até o infinito. Em segundo lugar, o número de parcelas muda com "n". Logo aquele raciocínio de deixar tudo dividido por "n" não funciona.

Conhece o Teorema de Cèsaro? Ele diz que se uma seqüência convergir, então a seqüência formada pela média aritmética dos n-ésimos termos da seqüência original possui o mesmo limite dessa seqüência.

No seu caso, basta notar que você está fazendo a média aritmética dos n primeiros termos da seqüencia "raiz n-ésima de 2".

Como a seqüência "raiz n-ésima de 2" converge para 1, pelo Teorema de Césaro, a sua seqüência converge para 1.

Observar que "raiz n-ésima de 2" converge para 1 é algo que pode-se observar com uma calculadora, mas a demonstração rigorosa de tal fato segue abaixo.

Dado r > 0, é possível encontrar N natural tal que "raiz n-ésima de |2" - 1| < r, sempre que n > N? (Espero que você já tenha topado com a definição rigorosa de limite de seqüências) Se for possível, então "raiz n-ésima de 2" converge para 1. Como "raiz n-ésima de 2" é menor que "raiz N-ésima de 2" se n > N, então

"raiz n-ésima de 2" -1 < "raiz N-ésima de 2" - 1

Escolhendo N de modo que "raiz N-ésima de 2" - 1 < r =>

(1/N)log 2 < log(r + 1) => N > (log 2)/(log(r+1)).

Logo é possível encontrar N natural satisfazendo a condição exigida.

[PS]: Parabéns por estar adiantando seus estudos.

Answer 2

Vou reescrever a série,
___b = Sigma{ 2^(1/i)/N; i=1..N }
___= 1/N* Sigma{ 2^(1/i); i=N..1 }
___= 1/N* { 2^(1/N)+ 2^[1/(N-1)]+ 2^[1/(N-2)]+ ...+ 2^(1/2)+ 2 }

Vou aplicar limite no termo entre {}'s,
___lim b =
___= lim 1/N* { 1+ 1+ 1+ ...+ 2^(1/k)+ 2^[1/(k-1)]+ ...+ 2^(1/2)+ 2 }

Os primeiros termos são iguais a 1 até a iteração (N-k), a partir da qual a sequência passa a convergir de 1 para 2. A somatória de 1 (N-k) vezes é igual a (N-k); os termos restantes, vou exprimir por uma somatória "finita",
___= lim 1/N* { (N- k)+ Sigma{ 2^(1/i); i=1..k } }
___= lim { (N- k)/N+ 1/N*c } <--- c = Sigma{ 2^(1/i); i=1..k }
___= lim (1- k/N)+ lim c/N
___= 1+ 0
___= 1