O que é uma função diferenciável em (a,b)?

Question

Em muitos livros de cálculo é mostrado que dizer que "F(x) é derivável em (a,b)" é o mesmo que dizer que "F(x) é diferenciável em (a,b); mas em topologia diferencial uma função diz-se diferenciável (ou suave) se tiver derivadas de todas as ordens; segundo alguns livros...
No caso, uma função será derivável em (a,b), se houver derivada de 1ª ordem (nenhuma mais é suficiente).
Ou seja, uma função derivável apenas em 1ª ordem pode ou não ser designada por "função diferenciável"?

Answer 1

Acredito que você esteja confundindo resultados do Cálculo com uma variável, onde derivabilidade e diferenciabilidade, apesar de serem conceitos distintos, ocorrem simultaneamente, e o resultado para várias variáveis, onde derivabilidade pode ocorrer sem que diferenciabilidade ocorra (não precisa chegar na Topologia Diferencial para notar isso).

Uma condição necessária, mas não suficiente para que uma função f: A -> R seja diferenciável em (a,b) é possuir derivadas parciais de primeira ordem (ou seja, ser derivável). Mas a recíproca não é verdadeira.

Uma função f é diferenciável em (a,b) quando pode ser aproximada localmente por uma aplicação linear no ponto (a,b).

Noutras palavras, f é diferenciável em (a,b) quando existirem constantes A e B tais que

|f(a+h, b+k) - f(a,b) - Ah - Bk|/(h^2 + k^2)^(1/2) tender a 0 quando h e k tenderem a 0.

Não por acaso, essas constantes são A = f_x(a,b) [Derivada parcial de f com relação a x no ponto (a,b)] e B = f_y(a,b) [Derivada parcial de f com relação a y no ponto (a,b)].

Há ainda um resultado que diz: "Se as derivadas parciais de primeira ordem forem contínuas em (a,b), então f será diferenciável em (a,b)". Note, para garantir a diferenciabilidade, primeiro foi necessário supor que f era derivável (possuir as derivadas parciais) e ainda foi preciso fazer uma hipótese adicional sobre as derivadas parciais (elas evem ser contínuas).

Infelizmente, ou felizmente, esse teorema não caracteriza funções diferenciáveis, podendo desta forma haver funções diferenciáveis com derivadas parciais descontínuas.

Answer 2

Estes termos são sinônimos. O termo diferenciável é preferido pelos autores mais rigorosos. No caso de funções definidas na reta real, derivävel ou diferenciável signfica apenas que a derivada de 1a ordem existe em (a, b).

Eventualmente, algum autor pode definor diferenciável como significando a existência das derivadas de todas as ordens, mas não me parece o uso mais geral..