O que é Teorema de Tales?

Answer 1

Teorema de Tales

Os principais teoremas demonstrados por Tales foram:

* T1 : Uma circunferência é bissectada por qualquer um dos seus diâmetros.
* T2: Qualquer ângulo inscrito numa semi-circunferência é recto.
* T3: Os ângulos da base de um triângulo isósceles são iguais.
* T4: Dois triângulos são geometricamente iguais se tiverem dois ângulos e um lado iguais.
* T5: Um feixe de rectas paralelas, cortado por duas transversais, intersecta estas em segmentos correspondentes directamente proporcionais.
* T6: Se cortarmos os lados de um ângulo (ou os seus prolongamentos) por um feixe de paralelas, os triângulos formados terão os lados proporcionais.
* T7: Um feixe de planos paralelos cortados por duas transversais, intersecta estas em segmentos correspondentes directamente proporcionais.

Answer 2

O teorema de Tales nos diz que se duas retas são transversais a um feixe de retas paralelas, então a razão entre dois segmentos QUAISQUER de uma delas é igual à razão entre os segmentos correspondentes da outra.

Answer 3

Você já estudou os conceitos de razão e proporção. Agora, vamos aplicar esses conceitos em Geome- tria.
A idéia de proporção e sua aplicação em Geome- tria são bastante antigas.

Um dos trabalhos mais importantes nesse sentido foi desenvolvido por Tales, um rico comerciante da cidade grega de Mileto, cerca de 600 anos antes de cristo.

Tales observou que, num mesmo instante, a razão entre a altura de um objeto e o comprimento da sombra que esse objeto projetava no chão era sem- pre a mesma para quaisquer objetos.

Por ser comerciante, Tales teve a oportunidade de entrar em contato com outros povos. Conta-se que, numa de suas viagens ao Egito, Tales foi desafiado a medir a altura de grande pirâmide de Queóps.

Usando um bastão, Tales aplicou seus conheci- mentos sobre segmentos proporcionais, pois a ra- zão entre a altura da pirâmide e o comprimento da sombra projetada por esse bastão.
As pirâmides egípcias são monumentos grandiosos. A pirâmide de Queóps, constru- ída por volta de 2500 a.C., é considerada uma das grandes maravilhas do mundo an- tigo; sua base é um quadrado cujos lados medem cerca de 230 metros e sua altura é de 150 metros, aproximadamente.

O filósofo grego Tales, nascido na cidade de Mileto por volta de 585 a.C., conseguiu medir a altura de uma das pirâmides. Partindo do princípio de que existe uma razão entre a altura de um objeto e o comprimento da sombra que esse objeto projeta no chão, e que essa razão é a mesma para diferentes objetos no mesmo instante, Tales pôde calcular a altura da pirâmide. Usou apenas um bastão e as medidas das som- bras da pirâmide e do bastão, num mesmo instante.



Tales imaginou os triângulos VHB e ABC, que são semelhantes, por terem dois ângu- los respectivamente congruentes. Como Tales sabia que os lados desses triângulos eram proporcionais, pôde determinar a laltura VH da pirâmide através da proporção VH está para AB, assim como HB está para BC.

Este fato levou Tales a ser muito prestigiado pelo faraó Amásis, que governava o Egi- to nessa época.


Seria interessante você dar uma olhada no site abaixo, pois tem figuras e tudo mais, tem como você analisar melhor o que vem a ser o Teorema de Tales de Mileto

Answer 4

Se duas retas são transversais de um feixe de retas paralelas, então a razão entre dois segmentos quaisquer de uma delas é igual à razão entre os respectivos segmentos correspondentes da outra.

Veja mais em:
http://mathematikos.psico.ufrgs.br/disciplinas/ufrgs/mat010392k2/ens22k2/bolinha/teorema_de_tales.html

Answer 5

O Teorema de Tales
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A ciência, tão fundamental na era moderna,teve seu início por volta do ano 600 a.C. na cidade de Mileto, Grécia, especialmen-te com de Tales de Mileto. Tales era filósofo, geômetra, astrônomo, físico, políticoe comerciante, e acredita-se que tenha nascido no ano 625 a.C. Não se sabe aocerto em que ano morreu.Foi ele quem primeiro chamou a atenção para o aspecto abstrato dos objetosgeométricos, ao considerar um triângulo ou uma pirâmide, por exemplo, nãocomo coisas concretas, feitas de madeira ou pedra, mas como objetos do nossopensamento. Uma de suas descobertas no campo filosófico foi a de que “nãoapenas os homens estão sujeitos a leis, mas também a Natureza”. E apontandopara a sombra dos degraus de um estádio desportivo, teria dito: “Os ângulos dosdegraus obedecem a uma lei: são todos iguais”. (Depois veremos esse exemplocom maiores detalhes.)Assim, uma das idéias deste grande filósofo e matemático é esta: uma lei quese aplique a triângulos vale tanto para triângulos de construção (por exemplo, aconstrução de uma casa) como para aqueles desenhados (a planta da casa) emesmo para triângulos...“imaginários”, como ele se referia aos triângulosabstratos, os do nosso pensamento, aqueles com que de fato lida a geometria.

Outra importantíssima característica do pensamento de Tales é que estasleis matemáticas - ou teoremas, como são chamadas -devem ser provadas (oudemonstradas) por um raciocíonio lógico. (E não apenas explicadas com argu-mentos religiosos ou míticos, como se fazia até então em lugares antes maisdesenvolvidos, como o Egito e a Babilônia.) Desse modo, Tales procuravasempre demonstrar cada uma de suas afirmações novas baseando-se em outrasafirmações já demonstradas, outros teoremas, formando assim cadeias de raci-ocínio.Nesta aula você terá a oportunidade de redescobrir alguns desses teoremasbastante interessantes e úteis na vida prática que são atribuídos a Tales, especi-almente aquele que ficou conhecido com seu nome: o Teorema de Tales.Você ficará surpreso ao ver quantas aplicações diferentes existem destesteoremas: desde o cálculo da altura de prédios e outras distâncias inacessíveis(veja a aula 20) até o modo certo de aumentar a feijoada! Como veremos, tudo issotrata de proporcionalidade de números (ou regra de três). Na realidade, oTeorema de Tales é “a figura da regra de três”. Mas... cada coisa a seu tempo!Conta-se que, numa viagem ao Egito, Tales foi desafiado pelos sacerdotesegípcios a explicar como “adivinhara” a altura de uma das pirâmides. Ossacerdotes acreditavam que essa informação era sagrada e havia sido inadver-tidamente fornecida a ele, que, por esse motivo deveria ser preso. Tales explicouseu raciocínio exemplificando-o com o cálculo da altura de um obelisco cujasombra era mais fácil de ser medida. Aqui está o problema para você tentarresponder: Em certo momento do dia, uma vareta de 1 m, espetada verticalmen-te no chão, faz uma sombra que mede 20 cm. No mesmo instante, um obeliscode pedra, ali perto, faz uma sombra de 4 m. Qual a altura do obelisco?Atenção: como o Sol está muito longe de nós, podemos considerar seus raioscomo retas paralelas. Tente encontrar o que se pede trabalhando com papelquadriculado e régua.Ângulos opostos pelo vérticeUm dos teoremas atribuídos a Tales é muito simples de ser entendidoconcretamente: quando seguramos uma vareta de madeira em cada mão ecruzamos essas varetas estamos representando retas concorrentes. Indepen-dentemente da abertura que você dá às varetas, elas sempre formam, à suaesquerda e à direita, dois ângulos (opostos pelo vértice) iguais.

b + c = 180ºˆcba + b = 180ºˆâbLogo: a = cacLembre: Como se mede um ângulo com transferidor:Exemplo: O menor dos ângulos que estas retas formam mede 58º. O maiormede 180º - 58º=122º.“Por que ângulos opostos pelo vértice são sempre iguais?”, Tales se pergun-tou. Podemos explicar isso do seguinte modo, baseando-se na figura do transfe-ridor: os ângulos ∃ae ∃bformam juntos um ângulo de 180º (ângulo raso), quechamamos de ângulos suplementares (veja a figura abaixo); da mesma forma,também ∃be ∃csão ângulos suplementares. Ou seja:∃a + ∃b = 180º ; então ∃a = 180º -∃bConclusão : ∃a = ∃c (C.Q.D.!)∃b + ∃c = 180º ; então ∃c = 180º -∃bdbcacaDuas varetas formam4 ângulos, opostosdois a doisQuanto mede cadaum destes dois ângulosopostos pelo vértice?∃a =....∃c =....901800170101602015030 14040 451305012060110701008010080701106012050130454014030 15020160101700180ºº

110º70ºyxyx110º70ºSobre duas retas concorrentes não há muito mais o que dizer: dos quatroângulos que se formam, quaisquer dos ângulos vizinhos são suplementares equaisquer dos ângulos opostos pelo vértice são iguais. Assim, vamos estudaragora o que ocorre quando acrescentamos uma terceira reta a estas duas, paralelaa uma delas.Retas paralelas cortadas por uma transversalJúnior é um garoto esperto. Outro dia, no “velho Maracanã”, ele mostravaao tio (com quem conversa muito sobre seus estudos) os ângulos formados nosdegraus do estádio. Ele ilustrou seu raciocínio deitando o pau da bandeira de seuclube atravessado em relação aos degraus. Visto de lado, o pau da bandeiraforma ângulos iguais com todos os degraus. Vemos também que isso só aconteceporque os degraus são todos horizontais, e portanto paralelos.Voltemos, então, ao que acontece quando acrescentamos uma terceira retaàs duas retas concorrentes do início da aula. De modo geral, a terceira retaformará quatro novos ângulos (dois pares), diferentes dos ângulos das retasiniciais... (Meça os ângulos xx e y da figura abaixo, e compare-os com os ângulosiniciais, que medem 70º e 110º.)Mas há uma posição especial na terceira reta em que xx e y medem precisa-mente 70º e 110º: quando a terceira reta é paralela a uma das retas. (Como osdegraus que Júnior viu no estádio, que são paralelos).110º70º110º70º110 º110º70 º70 º70 º70 º110 º110 º


Esta experiência do garoto pode ter sido vivida também por Tales de Mileto,que há 2600 anos enunciou:Quando retas paralelas são cortadas por uma reta transversal,os ângulos formados numa das retas paralelas sãocorrespondentes e iguais aos ângulos da outra.É fácil verificar isso concretamente. A seguir, o item sobre a aplicação práticano desenho técnico mostra como o ângulo de uma das retas paralelas é “trans-portado” pela reta transversal até encaixar-se no ângulo da outra reta. Por issoos ângulos são correspondentes e iguais.Uma aplicação prática no desenho técnicoNa verdade, você pode verificar experimentalmente (como fez acima, aomedir os ângulos) que a recíproca desta afirmação também é verdadeira. Ouseja: quando os ângulos são correspondentes e iguais, então as retas são parale-las. Desenhe ângulos correspondentes e constate o paralelismo das retas.Este novo fato tem uma aplicação prática muito usada no desenho técnico,como, por exemplo, no desenho da planta de uma casa. Para traçar retas paralelasseguramos a régua e o esquadro e riscamos as retas, como mostra a figura:Segmentos proporcionaisVimos o que acontece com os ângulos quando duas retas parelelas sãocortadas por uma reta transversal: eles são transportados de uma das retasparalelas à outra. Vejamos o que ocorre quando não duas mas três retas sãoparalelas: como você já sabe, os ângulos formados em todas as três são iguais.Mas não apenas isso; agora também formam-se segmentos.Na figura a seguir, eles estão representados por AB e BC. Algo muitointeressante aconteceu. Se AB e BC forem iguais (no exemplo AB = BC = 1 cm)e traçarmos qualquer outra reta transversal, então os dois novos segmentos A’B’(lê-se: “A linha, B linha”) e B’C’-serão.... (meça B’C’; e compare-o com A’B’, queneste exemplo mede 1,5 cm. Então conclua a frase anterior.)60¼60¼retasparalelasNeste exemplo, o ‰ngulo que foi "transportado" mede 60¼: • o ‰ngulo do esquadro.60¼90¼30¼60 º60 º60 º30º90 º

A’B’ e B’C’ também serão iguais isto é, B’C’ = 1,5 = A’B’. Da mesma forma,se traçássemos uma quarta reta paralela passando pelo ponto D tal quetambém CD = 1, então quanto mediria C’D’? É claro que, pelo mesmo motivo,C’D’ = 1,5 = B’C’=A’B’.Podemos enunciar isto da seguinte maneira: quando um feixe (isto é, umconjunto de três ou mais retas) de retas paralelas é cortado por duas retastransversais, se os segmentos numa das retas forem iguais, (no exemplo,AB = BC = CD = 1), então os segmentos na outra reta também o serão(A’B’=B’C’=C’D’=1,5).“Mas, e se os segmentos na primeira reta não forem iguais? Como noexemplo acima, onde AB = 1 cm e BD = 2 cm o que podemos dizer sobre A’B’ eB’D’ (além do fato de que também não são iguais)? Veja a figura abaixo: seA’B’ = 3 cm, temos B’D’= 6 cm. Olhe para estes quatro números da figura:1; 2; 1,5 e 3. Tomados nesta ordem, formam duas frações iguais: 121 53=,.Dizemos que estes quatro números são números proporcionais, e escreve-mos : “1:2 :: 1,5:3”. (Lê-se: “1 está para 2, assim como 1,5 está para 3). Assim, ossegmentos que têm estas medidas, na figura representados respectivamente porAB, BC, A’B’ e B’C’, são segmentos proporcionais. De um modo geral, defini-mos: AB e BC são segmentos proporcionais a A’B’ e B’C’ (nesta ordem), seABBCA'B'B'C'=.AA'BB'CC'111,5?AA'BB'CC'111,5?DD'1,51AA'BB'11,5DD'23

O Teorema de TalesComo se pôde ver na última figura da página anterior, o feixe de retasparalelas “transporta” uma razão de segmentos: ali, a razão dos segmentosAB e BC (no caso, 12) é igual à razão dos segmentos A’B’ e B’C’ (36). O Teoremade Tales fala exatamente isso:Quando três retas paralelas sãocortadas por duas retas transver-sais, os segmentos determinadosnuma das retas transversais sãoproporcionais aos segmentos deter-minados na outra.Teorema de Tales: ab=a'b'(se as três retas forem paralelas.)Uma “aplicação rendosa” do Teorema de TalesDona Tetê quer saber qual entre dois crediários é o mais vantajoso. Na LojaX um aparelho de som custa R$ 410,00 à vista. Já na Loja Y, o mesmo aparelho desom sai por duas parcelas a primeira de R$ 200,00 e a segunda, no próximo mês,de R$ 231,00. Considerando que a inflação prevista é de 5% no próximo mês, qualdos dois crediários sai mais “em conta” para dona Tetê?Dona Tetê pode resolver este problema com um gráfico, se quiser visualizaros números com que está trabalhando. Veja como:Os valores em reais no próximo mês serão proporcionais aos valores dehoje devido à inflação. Assim se chamamos de x o valor correspondente hojeaos R$ 231,00 do próximo mês, podemos escrever: 100x=105231aa'bb'Valor daquia 1 m•s (R$)Valor hoje (R$)Quanto valem 240, hoje?100x105231Note: inflação = 5%

É comumdizer “triânguloscongruentes” (bemcomo “segmentoscongruentes”) nolugar de “iguais”.Mas algunsprofessores hojeestão abandonandoeste termo.ACBMNP{Temos uma regra de três. Portanto, para achar x podemos usar a fórmula “oproduto dos meios (xx e 105105) é igual ao produto dos extremos (100 e 231)”.Logo, 105 x = 23.100, e então x = 220. Se dona Tetê traçar, pelo valor 240 dográfico, uma reta paralela à que liga o 105 (daqui a um mês) ao 100 (hoje),encontrará precisamente 220 no eixo do hoje. Isso significa que, em valores dehoje, os R$ 231,00 que dona Tetê pagaria no próximo mês equivalem a R$ 220,00.Assim, o crediário Y está pedindo 200 + 220 = R$ 420,00 pelo aparelho de som,enquanto no crediário X o compramos por R$ 410,00 que é, portanto, o maisvantajoso dos dois para o bolso do consumidor. É, dona Tetê: mais R$ 10,00 parao nosso “crédito de gratidão” ao mestre Tales de Mileto, não é mesmo?Semelhança de TriângulosSe aplicarmos o Teorema de Tales num triângulo qualquer vamor obterresultados bastante interessantes e reveladores sobre os triângulos. Sendo ABCum triângulo, traçamos por M, ponto médio de AB, uma reta paralela ao lado BCe encontramos N. Então:AMMB=ANNC; logo, AN = NC, e N é o ponto médio do segmento.1Analogamente, uma reta passando por N paralela a AB nos indica P, pontomédio de BC: BP = PC = BC2. Mas, como BMNP é um paralelogramo,MN = BC2= BP = PCPelo mesmo raciocínio vemos que NP = AM = MB e MP = AN = NC. Issosignifica que se você desenhar o triângulo, cujos vértices são os pontos médiosdo triângulo maior, verá que são formados quatro triângulos... Todos iguais!(Lembre-se que ABC é um triângulo qualquer.)Estes quatro triângulos são iguais, pois têm os três lados e os ângulosrespectivamente iguais, conforme nos garante o teorema das retas paralelascortadas por uma transversal.

Answer 6

Desconheço a resposta, mas boa sorte! ***