Matemática, duas questões?

Question

8^(x-2) = x/42

Outra questão:

(10^x)^(x-y) = 1/106


Ps.: "^" significa elevado.

Tks=*=)

Answer 1

8^(x- 2) = x/42
log_8[8^(x- 2)] = log_8(x/42)
(x- 2) log_8(8) = log_8(x)+ log_8(42)
x- log_8(x) = log_8(42)+ 2 = 3,7974

Isso é uma equação transcedental, isto é, que não pode ser trabalhado por álgebra. Vamos ter que resolver por método numérico.

x = 1/4096 = 8^(-4) ---> 1/4096- (-4) = 4,0002 > 3,7974**
x = 1/512 = 8^(-3) ---> 1/512- (-3) = 3,0019 < 3,7974**
x = 1/64 = 8^(-2) ---> 1/64- (-2) = 2,0156 < 3,7974
x = 1/8 = 8^(-1) ---> 1/8- (-1) = 1,1250 < 3,7974
x = 1 = 8^0 ---> 1- (0) = 1 < 3,7974***
x = 8 = 8^1 ---> 8- (1) = 7 > 3,7974***
x = 64 = 8^2 ---> 64- (2) = 62 > 3,7974

Os intervalos de x marcados com ** e *** contêm o valor de x procurado. No meio do intervalo **, 1/4096 < x < 1/512,
___x = [(1/4096)+(1/512)]/2 = 9/8192
___9/8192- log_8(9/8192) = 3,2777 < 3,7974

Ou seja, 1/4096 < x < 9/8192. No meio desse intervalo,
___x = [(1/4096)+(9/8192)]/2 = 11/16384
___11/16384- log_8(11/16384) = 3,5142 < 3,7974

Ou seja, 1/4096 < x < 11/16384. No meio desse intervalo,
___x = [(1/4096)+(11/16384)]/2 = 15/32768
___15/32768- log_8(15/32768) = 3,6981 < 3,7974

Ou seja, 1/4096 < x < 15/32768. No meio desse intervalo,
___x = [(1/4096)+(15/32768)]/2 = 23/65536
___23/65536- log_8(23/65536) = 3,8258 > 3,7974

Ou seja, 23/65536 < x < 15/32768. No meio desse intervalo,
___x = [(23/65536)+(15/32768)]/2 = 53/131072
___53/131072- log_8(53/131072) = 3,7577 < 3,7974

Ou seja, 23/65536 < x < 53/131072. No meio desse intervalo,
___x = [(23/65536)+(53/131072)]/2 = 99/262144
___99/262144- log_8(99/262144) = 3,7906 < 3,7974

Ou seja, 23/65536 < x < 99/262144. No meio desse intervalo,
___x = [(23/65536)+(99/262144)]/2 = 191/524288
___191/524288- log_8(191/524288) = 3,8079 > 3,7974

Ou seja, 191/524288 < x < 99/262144. No meio desse intervalo,
___x = [(191/524288)+(99/262144)]/2 = 389/1048576
___389/1048576- log_8(389/1048576) = 3,7992 < 3,7974

Ou seja, 191/524288 < x < 389/1048576. No meio desse intervalo,
___x = [(191/524288)+(389/1048576)]/2 = 771/2097152
___771/2097152- log_8(771/2097152) = 3,8035 > 3,7974

Ou seja, 771/2097152 < x < 778/2097152 é uma das respostas. Falta o outro intervalo, ***, 1 < x < 8:

___x = (1+ 8)/2 = 9/2
___9/2- log_8(9/2) = 3,7767 < 3,7974

Ou seja, 9/2 < x < 8. No meio desse intervalo,
___x = (9/2+ 8)/2 = 25/4
___25/4- log_8(25/4) = 5,3687 > 3,7974

Ou seja, 9/2 < x < 25/4. No meio desse intervalo,
___x = (9/2+ 25/4)/2 = 43/8
___43/8- log_8(43/8) = 4,5662 > 3,7974

Ou seja, 9/2 < x < 43/8. No meio desse intervalo,
___x = (9/2+ 43/8)/2 = 79/16
___79/16- log_8(79/16) = 4,1696 > 3,7974

Ou seja, 9/2 < x < 79/16. No meio desse intervalo,
___x = (9/2+ 79/16)/2 = 151/32
___151/32- log_8(151/32) = 3,9726 > 3,7974

Ou seja, 9/2 < x < 151/32. No meio desse intervalo,
___x = (9/2+ 151/32)/2 = 295/64
___295/64- log_8(295/64) = 3,8745 > 3,7974

Ou seja, 9/2 < x < 295/64. No meio desse intervalo,
___x = (9/2+ 295/64)/2 = 583/128
___583/128- log_8(583/128) = 3,8255 > 3,7974

Ou seja, 9/2 < x < 583/128. No meio desse intervalo,
___x = (9/2+ 583/128)/2 = 1159/256
___1159/256- log_8(1159/256) = 3,8011 > 3,7974

Ou seja, 9/2 < x < 1159/256. No meio desse intervalo,
___x = (9/2+ 1159/256)/2 = 2311/512
___2311/512- log_8(2311/512) = 3,7889 > 3,7974

Ou seja, 9/2 < x < 2311/512. No meio desse intervalo,
___x = (9/2+ 2311/512)/2 = 4615/1024
___4615/1024- log_8(4615/1024) = 3,7827 < 3,7974

Ou seja, 4615/1024 < x < 2311/512. No meio desse intervalo,
___x = (4615/1024+ 2311/512)/2 = 9237/2048
___9237/2048- log_8(9237/2048) = 3,7858 < 3,7974

Ou seja, 9237/2048 < x < 2311/512.

Resp.: 9237/2048 < x < 9244/2048 ou 771/2097152 < x < 778/2097152.

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A segunda questão tem infinitas soluções, pois há duas variáveis e somente uma equação.

Answer 2

(X-2)Log8 = LogX - Log42
0,9(X-2) = LogX - 1,62
LogX = 0,9X - 1,8 + 1,62
LogX - 0,9X = 0,18

10^(x²-xy) = 10^(-2,0253)
x²-XY = -2,0253
X - Y = -2,0253/X
Y = (2,0253/X) + X

Máximo que cheguei em ambos...

Answer 3

A - 36

B - 23