一題工程數學........麻煩大家......

Question

(1+X^2)y\"-2xy\'+2y=0

求一般解 謝謝...........

http://tw.knowledge.yahoo.com/question/?qid=1106082311054

Answer 1

基本觀念：　　以下公式是由 method of reduction of order 推導而來，建議上考場前記起來，以節省中間繁複計算的時間；若由題目可觀察到或給定一個解 y1，且方程式之型式如下：y'' + P(x)y' + Q(x)y = 0　　則求解另一解 y2 之方法為：U = ( 1／y12 )exp[∫- P(x)dx ]y2 = y1∫Udx　　有了以上的觀念，我們就能來解算這著題目。*Problem：( 1 + x2 )y'' - 2xy' + 2y = 0 , find general solution of y = ?sol：　　由原式得：y'' - [ 2x／( 1 + x2 ) ] y' + [ 2／( 1 + x2 ) ] y = 0　　→ P(x) = - 2x／( 1 + x2 )　　　 Q(x) = 2／( 1 + x2 )　　由觀察可知 y1 = x 為其中一解。　　U = ( 1／y12 )exp[∫- P(x)dx ]　　　= ( 1／x2 )exp{∫[ 2x／( 1 + x2 ) ]dx }　　　= ( 1／x2 )exp{∫[ 1／( 1 + x2 ) ]d( 1 + x2 ) }　　　= ( 1／x2 )exp[ ln│1 + x2 │]　　　= ( 1／x2 )( 1 + x2 )　　　= 1 + ( 1／x2 )　　y2 = y1∫Udx　　　= x∫[ 1 + ( 1／x2 ) ]dx　　　= x [ x - ( 1／x ) ]　　　= x2 - 1　　general solution：y = y1 + y2　　→ y = x2 + x - 1 #*　　以上過程應該都很詳細了，若還有疑問請再提出；希望以上回答能幫助您。

Answer 2

設二階線性ODE為
y''+P(x)y'+Q(x)y=R(x)
P(x)=-2x/(1+x^2)
Q(x)=2/(1+x^2)

由判別式
P(x)+xQ(x)=-2x/(1+x^2)+2x/(1+x^2)=0
知x為原式之齊性解

設
y=xv，
則
y'=xv'+v，y''=xv''+2v'
代回原式，得
(1+x^2)xv''+v'=0

lnv'=∫-1/x(1+x^2) dx
= ∫[2x/(1+x^2)-2/x]dx
= ln(1+x^2)-2lnx+c1

v' = c1(1+1/x^2)
v = c1∫(1+1/x^2)dx
= c1(x-1/x)+c2

通解為
y= xv
= c1(x^2-1)+c2x ((c1,c2為常數

Answer 3

如果題目無誤的話
這種變係數的二階微分方程
好像解不出來...
(我自己應該把能試的都試過了)

Answer 4

(1+X平方)Y-2XY+2Y=0
Y+XY平方-2XY+2Y=0
答案~> XY^2-2XY+3Y=0

PS.我是用高中算法~.~