Existe similaridade entre uma integral e um limite?

Question

Esse questionamento advém de uma reflexão minha: uma integral só consegue se aproximar da área de uma curva infinitamente, mas nunca chegando ao ponto exato da medida dela, e um limite sempre tende ao infinito, nunca atingindo o ponto exato da sua operação (que no caso seria a divisão por zero absoluto). Será que o método que os matemáticos que descobriram os limites e as integrais utlizaram são equivalentes?

Answer 1

Primeiramente, não existe divisão por zero "absoluto" ou "qualquer outro tipo" de zero: esta operação não tem significado matemático.
Em segundo lugar, os matemáticos não "descobriram" o conceito de limite: este foi criado independentemente por Newton* (na Inglaterra) e por Leibniz* (na atual Alemanha) como uma maneira de expressar o valor de uma função quando o ponto em que ela é avaliada aproxima-se indefinidamente (o que deve ser lido como "o quanto você queira") de um determinado ponto:
Como exemplo, vejamos a função 1/x, com x tendendo a zero:

lim 1/x = infinito
x-->0

Perceba que se nos aproximarmos de zero por valores negativos, o resultado é - infinito ("menos" infinito), logo, o resultado "infinito" refere-se a um valor indeterminado e diz-se que o limite da função não existe (este só existirá quando o limite for um número finito qualquer e, portanto, definido).
De qualquer forma, infinito na matemática deve ser enxergado como "tão grande quanto se queira".
Sob este aspecto uma integral pode ser interpretada como um limite de uma soma de infinitos termos infinitamente pequenos: esta é a famosa definição de integral conhecida como "Soma de Riemann". Segundo esta definição, integral definida nada mais é do que uma soma de "retângulos":

Imaginando o caso mais simplificado de uma função de uma variável apenas, tendo-se uma curva f(x), podemos aproximar sua área como uma soma de f(x).dx, nos limites desejados (sejam entre x = a e x = b). Esta aproximação é uma soma de retângulos de altura f(x) e base dx, onde dx é uma partição do intervalo entre x = a e x = b (a < b, por hipótese) [a,b]:

dx = (b - a)/N

onde N é um número arbitrário (a princípio) e é o número de retângulos somados. Se somarmos muitos retângulos, dx começa a diminuir, pois N aumenta e a área obtida da soma aproxima-se cada vez mais da área exata da figura. No limite, quando tomamos N --> infinito (N tendendo para o infinito), dx --> 0 e a soma de Riemann será numericamente igual à área exata. A integral é, pois, um limite de somas!

*: A ambos os cientístas é atribuida a criação do cálculo diferencial e integral, que trata de limites, derivadas e integrais.

Answer 2

A integral é o limite tendendo para infinito. A sua afirmação de "que a integral nunca atinge o ponto exato" não é verdadeira. A integral sempre atinge o ponto uma vez que o intervalo considerado para o incremento é zero.
A soma por limites foi descoberta por arquimedes e a integração foi estabelecida por Newton e Leibnitz, por Newton bem antes, porém sem que Leibnitz soubesse (dizem as más línguas que Leibnitz soube o que Newton fazia).

Answer 3

A similaridade entre eles depende se a integral ´´e definida ou não,pois se for ela tende a um unico resultado, assim como o limite quetende a um unico resultado.
Espero ter ajudado.
Abraços Péricles.

Answer 4

A integral é um limite de uma da soma de Rieman com partição tendendo a zero!
A soma de Rieman pode se expressa como)
(i é tal que xi = x0 +i . Δx)
Σ( f(xi) . Δx )
O limite de Δx → 0 nos dá:
∫f(x)dx que é a integral da função f(x).
Para calcular essa integral nemricamente, um método é usar a própria soma de Rieman, usando uma partição Δx pequena.

Answer 5

Em parte sim. Tente entender o enunciado de Rieman, de que a integral é a soma ilimitada das derivadas parciais. É difícil de entender, mas quando você entende, você vai compreender a certa similaridade entre ambos. Só não tente explicar a Rieman, pois nenhum matemático conseguiu até hoje. Ela se tornou um axioma, ou seja, é aceita sem contestação, está correta, mas não há explicação do porque ser assim.

Espero ter ajudado!

Answer 6

Tem tudo a ver... na definião de integral usa-se o limite....