Alguém pode me citar algumas aplicações de EDO de segunda ordem na engenharia?

Question

EDO são equaçoes diferenciais ordinarias...
é meio urgenete...

Answer 1

Um exemplo fácil é no uso da segunda lei de Newton, que envolve a derivada segunda da posição de uma partícula em relação ao tempo:

F(x,t) - m(d2x/dt2) = 0 ===> F = ma

onde:
F(x,t) é a resultante das forças no ponto material;
m é a massa;
x é a posição, e
t é o tempo.

Um exemplo diferente, mas que ainda envolve conceitos da Cinemática, é a lei de Hooke (do movimento harmônico). A EDO é

m(d2x/dx2) + kx = 0 ===> F = ma = -kx,

onde k é a constante elástica do sistema.

Em problemas de transporte de matéria por difusão, também ocorrem EDOs de segunda ordem. A modelagem de alguns sistemas onde ocorrem reação química e difusão simultaneamente, como por exemplo o fenômeno da combustão de carvão, a EDO que descreve o modelo mais simples tem a forma:

D(d2C/dr2) - kC = 0,

onde:
D é a difusividade do oxigênio,
C é a concentração de oxigênio ao redor do grão de carvão,
r é a posição radial, e
k é a constante de equilíbrio da reação química.

Answer 2

Um sistema de suspensão de um automóvel é uma aplicação em engenharia mecânica e pode ser (simplificadamente) modelado por uma EDO de segunda ordem.
O sistema consiste em uma parede (o chassi) onde estão engastados uma mola (da suspensão) e um amortecedor. Ambos conectados a uma massa (a roda).
.........K.........______
=|--vvvvvv---|...M......|
=|-----|-------|_____|
........B.....
(Ignore os pontos da figura, eles servem apenas para preencher espaços...)
K representa uma mola de constante K.
B representa um amortecedor de constante B.
M representa uma massa ligada ao sistema. O valor da massa é M.
A posição do corpo de massa M é dada por X (que não está representado, mas possui valor positivo para a direita).
(* = multiplicação)
(/ = divisão)
(X' é a derivada de X com relação ao tempo (velocidade))
(X'' é a derivada segunda de X com relação ao tempo (aceleração))
A força da mola (suposta linear) é proporcional a X (Fmola = K*X)
A força do amortecedor (suposto linear) é dado pela constante de amortecimento vezes a velocidade do corpo (Famort = B*X')
Pela segunda Lei de Newton:
Fmola + Famort = M*a (onde a é a aceleração do corpo e é dado por X'')
Logo M*X''+ B*X' + K*X = 0 é a EDO (de 2ª ordem, homogênea)) que modela este problema.
Pode-se colocar uma excitação na massa (no caso, o relevo da pista) como uma força F(t) (que varia apenas com o tempo, ou mesmo F(X,t) que varia também com a posição)
A EDO fica heterogênea:
M*X'' + B*X'+ K*X = F(t)
Se F(t) = A*sen(w*t) (uma pista com relevo "senoidal" de amplitude A (máximo sobressalto dividido por dois) e uma freqüência w (que determina o periodo de oscilação completa T = 2*pi/w) e X=0 em t=0 e X'=0 em t=0, temos a solução (exp representa a função exponencial):

X(t)= -A*(w*cos(w*t)*B-
sin(w*t)*K+sin(w*t)*w^2*
M)/(B^2*w^2+K^2-2*M*K*
w^2+w^4*M^2)+1/2*(B^2+
(B^2-4*M*K)^(1/2)*B+2*
w^2*M^2-2*M*K)*A*w/(B^2-
4*M*K)^(1/2)/(B^2*w^2+K^2-
2*M*K*w^2+w^4*M^2)*
exp(-1/2*(B-(B^2-4*M*K)^
(1/2))*t/M)-1/2*A*w*(B^2-
(B^2-4*M*K)^(1/2)*B-
2*M*K+2*w^2*M^2)/(B^2-
4*M*K)^(1/2)/(B^2*w^2+
K^2-2*M*K*w^2+w^4*M^2)*
exp(-1/2*(B+(B^2-
4*M*K)^(1/2))*t/M)

Outro modelo a ser analisado pode ser a queda livre de um corpo imerso em um fluido (pode ser água ou ar...).
Considera-se o amortecimento como B*X' (como no exemplo anterior). A força externa aplicada é a gravitacional e vale M*g (onde g = 9,80665 m/s^2 nas proximidades da superfície terrestre).
A equação fica
M*X'' = M*g + B*X'

A solução para X = 0 em t = 0 e X' = 0 em t = 0 é:

X(t)=1/B*M*g*t-M^2*g/B^2+
M^2*g/B^2*exp(-t*B/M)

Espero que tenha ajudado...