Derivada de y=x^x e y=sen^x^2 (x)?

Question

Meu professor acabou de explicar exercícios com regra da cadeia e pediu essas derivadas.

Meu professor acabou de explicar exercícios com regra da cadeia e pediu essas derivadas.
Derivada de x elevado a x
Derivada de seno elevado a x elevado a 2

y=sen^x^2 (x)
seno de (x)
elevado a x elevado a dois

y=x^x já foi respondido, preciso apenas da outra
y=sen^x^2 (x)

tal a 2º pergunta seja y=sen(x)^x^2

Answer 1

A resposta do Oséas está errada!!!!

x^x = e^ln (x^x). (Ou seja, x elevado a x é igual a e (número do Euler) elevado ao logaritmo neuperiano de x elevado a x. O logaritmo cancela com Euler, por isso os dois são iguais. Mas essa passagem é necessária.
e ^ ln (x ^ x ) = e ( x * ln (x) ) [propriedade de logarítmo]
Com a regra da cadeia, a derivada fica:
e ( x * ln (x) ) * (ln (x) + x *1/x) = (x ^ x) * ( ln (x) +1 )
Quando temos a função como e elevado a uma multiplicação, usamos a regra da cadeia para derivar a exponencial, e depois derivamos o que está dentro. Este exercício, x ^ x, é mais difícil que parece.
Agora que você me passou a informação certa, eu resolvo. sen (x) ^ x ^2. Primeiro, usamos o e mais o ln de novo:
e ^ ln (sen (x) ^ x ^ 2). Depois, usamos a propriedade do logaritmo e temos
e ^ (x ^ 2 * ln ( sen (x) ) ). E derivamos por regra da cadeia, sendo que esta fica extensa:
e ^ ( x ^ 2 * ln (sen (x) ) ) * ( 2*x *ln (sen (x)) + x ^ 2 * 1/ sen (x) *cos (x)
Simplificando: (sen (x) ^ x ^2) * (2 * x * ln (sen (x)) + x^2 * cos(x) / sen (x)

Answer 2

y = x²
y ' = 2x

y = sen x²

y ' = cos x²