Desafio: qual é a equação?

Question

Oi pessoal, esse foi um caso real... não sei se os matemáticos gostam disso, pois ninguém respondeu... se alguém tiver paciência e gostar de matemática... está lançada:

5 amigos fazem uma aposta para a copa do mundo, onde cada um deles apostaram em 2 times que sairiam de cada uma das 8 chaves da primeira fase. Assim, cada um deles apostou em 16 times. Quem acertasse mais times, pagaria menos, em relação a um churrasco no valor de 100 reais. Considerando todas as possibilidades de combinação, mostre-me uma relação matemática que expresse de forma mais justa o quanto um apostador deveria pagar em qualquer situação de resultado. Nesta equação, as variáveis terão que ser: Vi (valor a ser pago pelo churrasco pelo jogador i), Pi (pontos ganhos pelo jogador i). Defina a equação de tal forma que substituindo a pontuação dos jogadores nas variáveis, automaticamente se obtém o valor a ser pago pelo jogador desejado.

Claro que não preciso resolver pra amanhã (já passei desa fase...rs), caso precise, dou-te mais tempo... um abraço!

Oi Alberto, muito obrigado e achei o caminho muito interessante. No entanto, ao testar sua equação, percebi que algo não estava bem. Por exemplo, imagine que quatro apostadores não façam nenhum ponto e um deles acerte tudo. O mais justo seria que o churrasco fosse dividido por 4, ou seja, 25 reais cada um. Quem acertou tudo, obviamente não poderia pagar. Assim, acredito eu, que as variáveis devem estar dependentes, também, da distância de acertos entre um e outro. Assim, prolongarei um pouco mais a resposta.
Um abraço

Oi Alberto, pode me chamar de Frank ou Patrulha... Eu sei que do ponto de vista prático vc está correto e a probabilidade disso ocorrer é mínima, mas existe. Não sou matemático, mas gosto muito de matemática, logo, quando surgiu essa discussão com um amigo chegamos a algo a mais, do conceito de justo. Mesmo que a probabilidade seja mínima acredito que não se pode descartar, logo, tem que existir uma equação que considere todas as possibilidades. Caso vc queira meu contato terei o prazer de passar, mas acho interessante discutir aqui para talvez despertar a curiosidade de outros tb.
Um abraço Alberto.

Answer 1

Seja Pi o n° de acertos do jogador i.

A forma mais justa é dividir o valor do churrasco proporcionalmente ao ERRO de cada jogador.

Ei = 16 -Pi

Vi = C x Ei / ∑Ei, onde C é o custo do churrasco

∑Ei = ∑(16 -Pi) = 16n - ∑Pi, onde n é o n° de jogadores.

Com C=100 e n=5, temos:

Vi = 100 x (16-Pi) / (80-∑Pi)

A fórmula acima só é válida se houver pelo menos 1 jogador com menos de 16 acertos, além do que quem acertar os 16 times não paga nada ...

Por isso, talvez seja melhor considerar o erro de cada jogador como:

E'i = 17 -Pi

E daí:

Vi = C x E'i / ∑E'i

∑E'i = ∑(17 - Pi) = 17n - ∑Pi

Vi = 100 x (17 - Pi) / (85 - ∑Pi)

Exemplo de uso:
Acertos: 12 13 15 16 14 ∑Pi=70
Erros:     05 04 02 01 03 ∑E'i=85-70=15
Valor:     33 27 13 07 20 (cota em Reais)

Calcular assim evita que quem acerte os 16 times não pague nada ... o que seria injusto, a menos que TODOS os demais não acertassem nenhum, caso mencionado por Patrulha (não era Frank ?), autor da pergunta.

Entretanto, esta não é uma falha tão grave assim:
1) O que acertou tudo só pagará 1 parte em 69 (míseros R$1,45)
2) A chance disto ocorrer (supondo probabilidades iguais para todos os times) é uma em (16!/8!²)^5, ou seja, uma em 353.095.948.597.520.700.000. Para se ter uma idéia de como essa probabilidade é pequena, ela é cerca de sete trilhões de vezes menor do que acertar na mega-sena com um cartão de 6 números (que já é muito pequena, apenas uma chance em 50.063.860).

Não há meios de comunicar-me com Patrulha, exceto escrevendo aqui.

Answer 2

acho que não sei não viu

Answer 3

Antes de tudo, seu problema é muito bom, quebrei a cabeça com ele. No final, cheguei a uma solução relativamente simples, que pode ou não estar certa (testei várias possibilidades, e o único modo que encontrei dela falhar é se todos os apostadores, juntos, acertarem os 16 pontos). Lá vai:

Vi = 100*(16-Pi)/∑(16-Pi).

Porém, se você estiver disposto a usar uma equação um pouco maior, ainda há como "eliminar o bug" dos 16, deixando a equação "perfeita" para seus cálculos. Ela fica, então, assim:

Vi = {[0^(80-∑Pi)]/5}*100 + 100*(16-Pi)/[∑(16-Pi) + 0^(80-∑Pi)]

Como o zero vai sempre resultar em zero em uma potenciação, exceto quando elevado também por 0, caso, e somente caso todos recebam 16 e a soma da pontuação de todos dê 80, a equação se tornará, automaticamente, o cálculo de 1/5 de 100.

PS: se você for testar ela no Excel, um aviso: acabei de descobrir que, por alguma razão, o excel não considera que 0 elevado a 0 resulte em 1, como os matemáticos e todas as outras calculadoras, inclusive a do windows, consideram.

Answer 4

Sua pergunta é muito grande. A resposta é: "Tô com preguiça".

Answer 5

Isso é um problema que vc tem que resolveer pra amanhã né hueaheuaehuae

Answer 6

Eh isso ae q o magalhaes escreveu.

Answer 7

"Pivití - Povotó"

Pi.Vi/ti = Po.Vo/to

Alguma outra dúvida?