Exemplo simples e concreto de incompletude ? Goedel.?

Question

Ouvi muito dizer que o lógico e matemático austríaco K. Goedel provou a incompletude da Aritimética. Através de conversas com colegas (reais e não virtuais) em uma cafeteria (nada melhor que tomar um café para acompanhar tais assuntos, não é mesmo), entendi e guardei o seguinte para mim mesmo.
1) Incompletude de um sistema significa que é possível fazer uma afirmação dentro deste sistema, mas que não podemos decidir se tal afirmação é falsa ou verdadeira.
2) Se impussermos que tal afirmação seja, por exemplo verdadeira, como sendo um axioma a mais no sistema, com o intuito de tornar este sistema agora completo, o que irá ocorrer é que este novo axioma, que acabamos de colocar, fará com que o novo sistema seja agora contraditório. A moral da história de 1) + 2) é que temos que ficar contente com sistemas incompletos ou então eles deixarão de existir. Perguntas: a) O modo como pensei 1) e 2) estão corretos? b) Vocês conhecem exemplos simples onde posso verificar a incompletude?

Como exemplo simples e concreto, quero dizer, um exemplo bem mais simples que a Aritimética que K. Goedel provou que era incompleta.

Answer 1

o conhecimento está limitado pelas carecteristicas do conhecedor e não pelas caracteristicas do objeto conhecido. Por exemplo, por nossas limitações não vemos a escuridão (ausencia de luz) Se trouxermos a luz que precisamos para ver, já não existirá mais ecuridão a ser vista, a luz para atender a minha necessidade, da minha limitação, ao me atender mudou a natureza do objeto de minha observação.

Answer 2

Vou lhe enviar o que eu tenho, que não é muito

Sorry, está em espanhol.

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Ana


Teorema de Gödel

Teorema de Gödel, en realidad son dos teoremas propuestos por el lógico estadounidense Kurt Gödel. El primer teorema de Gödel establece que cualquier teoría matemática coherente Τ que incluya los números naturales 0, 1, 2... es incompleta: Τ contiene proposiciones S tales que ni S ni su negación (no S) son demostrables en Τ. El segundo teorema de Gödel afirma que tal teoría Τ no puede contener la demostración de su propia coherencia (ausencia de contradicciones); la coherencia se puede demostrar en otra teoría mayor Τ', pero para demostrar que Τ' es coherente se necesita otra teoría extendida Τ'', lo que da lugar a una secuencia infinita de teorías.

Entre 1900 y 1928, el matemático alemán David Hilbert había propuesto que toda teoría matemática Τ, como la geometría o la teoría de números, debería tener fundamentos lógicos sólidos: un teorema de Τ es una proposición deducible a partir de un conjunto de axiomas (supuestos fundamentales sobre Τ) mediante aplicación múltiple de las reglas de la lógica, lo que se denomina una demostración. Este método, denominado formalismo, intentaba establecer la coherencia e integridad de toda teoría Τ y decidir mediante algoritmos si una proposición dada es un teorema de Τ, con lo que las matemáticas se reducirían a un proceso mecánico. Hilbert tuvo éxito en casos sencillos, pero en 1930 Kurt Gödel (1906-1978) demostró que los dos primeros objetivos de Hilbert no se pueden conseguir para toda teoría Τ que incluya los números naturales; de la misma forma, los teoremas de indecisión de Church y Turing (1936) demostraron que el tercer objetivo es también imposible.

Mediante un ingenioso sistema de numeración, Gödel traducía proposiciones sobre Τ, como “esta proposición no tiene demostración en Τ”, a expresiones numéricas en Τ. Si la mencionada proposición, S, fuese demostrable en Τ, entonces S sería falsa, lo que contradice la coherencia de Τ; así pues S es no demostrable y por tanto cierta. Siguiendo con el mismo razonamiento, no S no se puede demostrar, pues si se pudiera, S sería falsa. Por tanto Τ es incompleta. Además, la coherencia no se puede demostrar dentro de Τ, pues si se pudiera, el razonamiento anterior (incluido en Τ) demostraría S, lo que es imposible.