Fórmula da equação diofantina. Obrigada.?

Question

Obrigada pela resposta. Eu gosto muito das suas respostas de matemática se puder me diga essa fonte Wikipedia. O que é isso?

Answer 1

Quando se procuram soluções inteiras (e às vezes racionais) para equações algébricas dos seguintes tipos:

* x² + y² = z², por exemplo, que possui infinitas soluções representadas pelas ternas ordenadas (x,y,z) conhecidas como Ternos ou Ternas pitagóricos, onde z é o lado maior de um triângulo retângulo – a hipotenusa, e x e y seus catetos: (3,4,5), (4,3,5), (12,5,13), (5,12,13), (24,7,25), (7,24,25), somente para citar alguns exemplos. Um conjunto de fórmulas podem facilitar a obtenção das Ternas Pitagóricas: z = p^2 + q^2, x = p^2 - q^2, y = 2*p*q, onde p e q são combinações de números inteiros positivos distintos, com p > q, como por exemplo: 2 e 1; 3 e 1; 3 e 2; 4 e 1; 4 e 2; 4 e 3. Verifique se este tipo de raciocínio continua valendo para: 5 e 1; 5 e 2; ...; 5 e 4; para 6 e 1; 6 e 2; etc. Há uma justificativa algébrica para tal fato? Este processo funcionará sempre?

* x^n + y^n = z^n, que não possui soluções não nulas para n maior ou igual a 3 (ou seja para n > 2) que é justamente denominado o Último Teorema de Fermat - sobre o qual o matemático francês Pierre de Fermat (1601-1665) afirmou em uma pequena nota escrita na margem de uma página do um livro, exactamente ao lado daquela equação, possuir uma prova bastante simples para a mesma, mas que não poderia ser escrita ali, por absoluta falta de espaço. O matemático inglês Andrew Wiles finalmente em 1994, depois de ter usado uma vasta colectânea de novas técnicas e de muitas técnicas antigas da Teoria dos Números bem como tendo dispendido muito tempo de estudo e muitas e muitas folhas de papel para resolver este mistério, anunciou a prova deste Teorema, que havia permanecido, por mais de 300 anos, como um desafio para os mais habilidosos matemáticos.

* y² = x³ + 17, que possui exatamente 8 soluções (x,y) onde x e y são números inteiros sendo que os valores de x são os seguintes: - 2;-1; 2; 4; 8; 43; 52, sendo que os valores de y podem ser facilmente encontrados, a partir destes. Aqui o difícil será mostrar que estas são as únicas soluções possíveis.

* Equações algébricas que possibilitem calcular todos os números inteiros positivos que possam ser escritos como a soma de quatro quadrados perfeitos, como por exemplo: 47 = 36 + 9 + 1 + 1. Para "facilitar", os quadrados perfeitos podem ser repetidos, como no exemplo dado; pode-se ainda, adoptar o 0 como um quadrado perfeito, como em: 10 = 9 + 1 + 0 + 0 ao invés de 10 = 4 + 4 + 1 + 1.

Sabe-se que muitos números inteiros positivos não podem ser escritos desta forma, e é isto que torna solução deste problema bastante mais complexa. Este fato poderia motivar a seguinte pergunta: quantos são os números inteiros positivos menores que 10.000, que não podem ser escritos como a soma de quatro quadrados perfeitos? Este problema pode ser ainda apresentado como exigindo a utilização de apenas dois quadrados perfeitos ou utilizando três quadrados perfeitos. É evidente que agora, a solução tornar-se-ia ainda mais difícil.

Answer 2

Equação diofantina é QUALQUER equação onde apenas soluções inteiras são admitidas.

Um curioso exemplo é a seqüencia de Fibonacci. A razão entre termos consecutivos dela tende ao famoso PHI, a proporção áurea. Matiyasevich mostrou que os números de Fibonacci podem ser definidos por uma equação diofantina, o que o levou à solução original do Décimo Problema de Hilbert (que se mostrou insolúvel ... rsrsrs).