O que é Polinomio?

Question

O que é Polinomio?

Answer 1

Considere uma folha quadrada de plástico maleável de lado igual a 20 cm. A partir dessa folha, queremos montar uma caixa sem tampa. Uma maneira de se fazer isso, é cortar pequenos quadrados nos cantos da folha e dobrar na linha pontilhada, como mostra a figura abaixo:



O problema consiste em determinar o volume de água que essa caixa pode conter, quando completamente cheia.

Observe que à medida que x varia, o volume também varia , isto é, o volume da caixa depende da variável x que, neste problema, representa o tamanho do corte que determinará a altura da caixa a ser montada. Dizemos, então, que o volume da caixa é uma função de x. Neste caso, a expressão matemática que fornece o volume da caixa, para cada valor particular de x , é dada por: . Repare ainda que, neste exemplo, x só pode assumir valores entre zero e 10. (Por quê?).

Abaixo definimos a função V, expandimos a sua expressão e calculamos o seu valor para . Também traçamos o seu gráfico.



Na sentença acima, altere o valor de x e observe como o valor da função também muda. Altere também o valor do expoente na expressão e observe como muda o seu gráfico e a sua expressão expandida.

A função acima é um exemplo do que, em matemática, chamamos de um polinômio. Polinômios aparecem na resolução de muitos problemas, por isso é importante estudá-los com um pouco mais de cuidado. Por exemplo, é interessante, no problema acima, descobrir o valor de x, isto é, quanto se deve cortar nos cantos da folha de plástico, para se obter a caixa de volume máximo.


Observando o gráfico acima, tente descobrir este valor de x . Para comprovação, substitua tal valor na sentença que define x . Compare o valor da função neste ponto, com valores da função em outros pontos próximos daquele que você achou que fornecesse o máximo da função.

Um estudo mais cuidadoso de polinômios é feito na seção abaixo.


Polinômios

Um polinômio de grau n é uma função da forma


+ ... +


onde os coeficientes ,..., são números reais conhecidos, e n é um número natural.


A função linear afim , cujo gráfico é uma reta, e a função quadrática , cujo gráfico é uma parábola, são exemplos de polinômios de primeiro grau e de segundo grau, respectivamente. O polinômio de grau zero é uma função constante. Cada uma das parcelas de um polinômio, é chamada monômio de grau i .


Dado um polinômio +... + , qual o significado geométrico da constante ?


O que se pode afirmar quando ?

Para descobrir a resposta dos itens anteriores, no polinômio cujo gráfico é dado abaixo, altere o valor da constante numérica que representa e verifique o efeito que esta mudança acarreta no gráfico da função. Se necessário, altere também a escala usada para o traçado do gráfico. Repita este mesmo procedimento para outros polinômios. O que se pode concluir?



Os exemplos mais simples de polinômios são as funções potências da forma ,..., .

Abaixo, estão traçados em conjunto os gráficos das seguintes funções potência de grau ímpar

e , respectivamente.





Quais são as principais características dos gráficos dessas funções ?


Observando os gráficos acima, o que você pode concluir a respeito do e do , se n é ímpar ?


Este fato pode ser generalizado? (Isto é, se é um polinômio de grau ímpar, o que acontece com os valores de quando x tende a + ? E quando x tende a ?)
(A análise gráfica, feita abaixo, poderá ajudá-lo a responder a essa pergunta.)

Observe os gráficos das funções e traçados na mesma janela.



Use o foguete para observar o que acontece com estes gráficos quando os valores de x aumentam. Este procedimento nos permite observar o comportamento global da função e corresponde a dar um "zoom" para aumentar o ângulo de visão do observador ("zoom-out").


O que se pode afirmar em relação ao comportamento dessas duas funções à medida que x cresce, em valor absoluto ?


Qual o limite dessas duas funções quando x tende a + ? E quando x tende a ?


Este fato pode ser generalizado, isto é, um polinômio de grau ímpar se comporta como o seu monômio de maior grau quando x cresce, em valor absoluto? ( Antes de responder a esta pergunta, reforce a sua intuição traçando, na mesma janela, vários gráficos de monômios e polinômios de mesmo grau e observe o comportamento dessas funções para grandes valores de x , em valor absoluto. Para isso, modifique as expressões que definem os polinômios na janela abaixo e use o foguete para obter uma escala adequada para observar o comportamento global das funções).




Se é um polinômio de grau ímpar o que se pode concluir a respeito do limite de quando ?


Abaixo estão traçados em conjunto os gráficos das seguintes funções potência de grau par

e , respectivamente.




Como no caso anterior, altere o valor de n para observar as principais características globais dos gráficos das funções potências de grau par.


Observando os gráficos traçados, o que você pode concluir a respeito do e do , se n é par ?


Este fato pode ser generalizado? (Isto é, se é um polinômio de grau par, o que acontece com os valores de quando x tende a + ? E quando x tende a ? ).

Para responder a essa pergunta vamos fazer a mesma análise gráfica que utilizamos para estudar o comportamento no infinito dos polinômios de grau ímpar.

Examine, abaixo, os gráficos das funções e , traçados na mesma janela.



Use o foguete para observar o comportamento global dessas duas funções.


Para x variando em um intervalo muito grande, é possível distinguir esses dois gráficos?



O que se pode afirmar quanto ao comportamento dessas duas funções à medida que x cresce, em valor absoluto ?


Qual o limite dessas duas funções quando x tende a + ? E quando x tende a ?


Este fato pode ser generalizado? Isto é, um polinômio de grau par se comporta como o seu monômio de maior grau, quando x cresce em valor absoluto? ( Antes de responder a essa pergunta, como no caso anterior, reforce a sua intuição traçando, na mesma janela, vários gráficos de monômios e polinômios de mesmo grau para valores grande de x Utilize, para isso, a janela abaixo).




Se é um polinômio de grau par o que se pode concluir a respeito do limite de quando ?



Atividades Propostas

Atividade 1: Encontrando as raízes de uma equação


Objetivo


Encontrar aproximações numéricas para os zeros de uma dada função.

Uma das principais razões pelas quais estamos interessados em estudar o gráfico de um polinômio é determinar o número e a localização ( pelo menos aproximada ) de seus zeros. (Recorde que zero de uma função é uma solução da equação . Geometricamente, os zeros de uma função são os pontos onde o gráfico da função corta o eixo x ).

A resolução de equações sempre constituiu um objetivo central da matemática e a solução exata ( para todas as raízes ) de uma equação como = 0 pode ser bastante difícil ou mesmo impossível. Em tais casos, é necessário o uso de métodos aproximados.

Um dos métodos aproximados mais simples para determinação das raízes de uma equação qualquer é o de "zooms" sucessivos, ilustrado no exemplo a seguir.

Abaixo, traçamos o gráfico da função . Dê "zooms" sucessivos ao redor dos zeros dessa função, para determinar uma aproximação numérica para cada uma das raízes da equação y = 0. Para isso use a faca. A cada vez que a faca é utilizada determinamos uma aproximação melhor para a raiz da equação. Clique no foguete para dar um "zoom" no sentido oposto, isto é para aumentar o intervalo de variação de x .

Substitua, a cada passo, o valor aproximado encontrado para a raiz, na equação que define o valor de x e observe como melhora a precisão do resultado obtido.




Na janela acima, altere a expressão que define y e repita o procedimento anterior, para encontrar aproximações numéricas para raízes de outras equações.

Atividade 2: Estudando o comportamento global e local de polinômios


Objetivo


Usar o computador para estudar o comportamento global e local de um dado polinõmio.

Abaixo estão traçados os gráficos das funções e no intervalo [-1,1]. Use o foguete para aumentar, gradualmente, o tamanho da janela para o traçado do gráfico até atingir um intervalo do tipo [-300,300].


Você pode explicar o que está acontecendo?


Qual o ?


Qual o ?



Observe a animação abaixo onde são traçados os gráficos das funções para n de 2 até 20 no intervalo [0,1].


Explique porque, à medida que n cresce, esta sequência de gráficos se aproxima da reta .




Este mesmo comportamento se verifica no intervalo [1,2]?


O que acontece, nesse intervalo, com os gráficos dessas funções, à medida que n cresce? (Observe a animação abaixo.)



Considere a função . Abaixo, traçamos o gráfico dessa função no intervalo para b =1 e a = 1.




Altere o valor de a para a = 2 , a = 3, a = 10 , a = 20, sucessivamente e observe as mudanças que ocorrem no gráfico desta função. (Para explicar o que está acontecendo, a cada passo, use o foguete para aumentar progressivamente o tamanho do intervalo e encontrar uma janela ideal que mostre o comportamento global da função.


Repita o procedimento acima para a = 1 e b = 0.2, b = 0.3, b = 0.001.

Dos exercícios anteriores, podemos concluir que, dependendo do tamanho relativo das constantes a e b , existe um intervalo em que a função se comporta como .


Determine a e b de tal modo que a função se comporte como a função no intervalo .


É possível determinar a e b de tal modo que a função se comporte como , para valores muito grandes de x ?

Answer 2

Quando uma expressão algébrica tem um só termo como 2ax, por exemplo, ela é chamada de monômio; quanto tem 2 termos como 5b + y, é chamada de binômio. Se tiver mais de 2 termos, recebe a denominação de polinômio. O que divide os termos numa expressão algébrica são os sinais de adição e subtração. Desse modo, a expressão a^2bcmx^3yz^3, apesar de conter muitas variáveis e incógnitas, não passa de um monômio.

Answer 3

Polinômio é uma expressão algébrica composta de vários termos, separados pelos sinais mais ou menos.

Answer 4

É uma expressão usada em matemática, funções polinomiais ou polinómios são uma classe importante de funções simples e infinitamente diferenciáveis. Devido à natureza da sua estrutura, os polinómios são muito simples de se avaliar e por consequência são usados extensivamente em análise numérica.

Answer 5

forma geometrica racional inteira,tem varias designações

Answer 6

Em matemática, funções polinomiais ou polinómios são uma classe importante de funções simples e infinitamente diferenciáveis. Devido à natureza da sua estrutura, os polinómios são muito simples de se avaliar e por consequência são usados extensivamente em análise numérica.

Answer 7

polinómio






polinômio
[De poli-1 + (bi)nômio.]
Substantivo masculino
1.Mat. Forma algébrica racional inteira.

Polinômio diádico. 1.Cálc. Vet. Diádico.
Polinômio inteiro. 1.Álg. O que só contém potências naturais da variável.
Polinômio mônico. 1.Álg. O que tem o coeficiente da maior potência igual à unidade.
Polinômio redutível. 1.Álg. Mod. Polinômio que, num corpo, pode ser fatorado em polinômios de menor grau com coeficientes pertencentes a esse corpo.
Polinômios idênticos. 1.Mat. Aqueles cujos coeficientes das potências do mesmo grau são iguais.
Polinômios ortogonais. 1.Anál. Mat. Dois polinômios cujo produto tem a integral, sobre um certo domínio, igual a zero.

Answer 8

é uma expressao algébrica q contem vários termos q são separados pelos sinais de + e de -.

Answer 9

É A PESSOA Q TEM VARIOS NOMES DISTINTOS

Answer 10

Em matemática, funções polinomiais ou polinómios são uma classe importante de funções simples e infinitamente diferenciáveis. Devido à natureza da sua estrutura, os polinómios são muito simples de se avaliar e por consequência são usados extensivamente em análise numérica.
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Equações polinomiais são equações do tipo: y = a * xn + b * x(n - 1) + c * x(n - 2) + ... + letra * n0 tal que x é uma variável independente e y é variável dependende de x, o número n é chamado o grau da equação e as letras são números reais.

exemplos de equações polinomiais:

y = x2 + x + 1; y = x + 34; y = x32 + x3 + x2 + 34x